Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 11. Hình thoi

  • Bài 11. Hình thoi trang 1
  • Bài 11. Hình thoi trang 2
  • Bài 11. Hình thoi trang 3
  • Bài 11. Hình thoi trang 4
§11. HÌNH THOI
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Định nghĩa
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Hình thoi cũng là một hình bình hành.
ABCD là hình thoi o ABCD là tứ giác có AB = BC = CD - DA.
Tính chất
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
Định lí: Trong hình thoi:
Hai đường chéo vuông góc với nhau.
Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi.
Dâ'u hiệu nhận biết
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
1. Bài tập mẫu	_
Cho hình thoi ABCD có A = 60°, vẽ BH vuông gÓG với cạnh AD rồi kéo dài một đoạn HE = BH. Nôi Ẽ với A, E với D.
Chứng minh rằng ABDE là hình thoi.
Ba điểm E, D, c thẳng hàng.
EB = AC.
Giải
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Tam giác ABD cân (tính chất cạnh hình thoi) có A = 60°.
=> àABD đều => đường cao BH đồng thời là trung tuyến => AH = DH Theo giả thiết:
BH = HE => ABCD là hình bình hành
Lại có BE 1 AD (giả thiết)
=> ABDE là hình thoi.
ABCD là hình thoi nên AB // CD (giả thiết). Theo chứng minh a) ta có ABDE là hình thoi nên AB // ED.
=> c, D, E thẳng hàng (theo tiên đề ơclit).
Dễ thấy ABCE là hình thang cân vì có:
AB // CE và AE = BC (= AB) => các đường
chéo AC và BE bằng nhau.
73
Bài tập cơ bản
(A và B là tàm cãc đường tròn) e)
Tìm các hình thoi trên hình 102
a)
74,
75
76
77,
Hình 102
Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Cạnh của hình thoi bằng giá tri nào trong các giá trị sau:
A. 6cm	B. Vĩĩcm	c. Vl64cm	D. 9cm
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.
Chứng minh rằng:
Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.
Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi. Đố. Hình 103 biểu diễn một phần của cửa xếp, gồm những thanh kim loại dài bằng nhau và được liên kết với nhau bởi các chốt tại hai đầu và tại trung điểm. Vì sao tại mỗi vị trí của cửa xếp, các tứ giác trên hình vẽ đều là hình thoi, các điểm chốt I, K, M, N, o nằm trên một đường thẳng?
Hình 103
Giải
Các tứ giác ỏ hình 39 a, b, c, e là hình thoi.
Ợ hình 39a, ABCD là hình thoi (theo định nghĩa)
Ợ hình 39b, EFGH là hình thoi (theo dấu hiệu nhận biết 4)
ở hình 39c, KINM là hình thoi (theo dấu hiệu nhận biết 3)
ở hình 39e, ADBC là hình thoi (theo định nghĩa, vì AC = AD = AB = BD = BC)
Tứ giác trên hình 39d không là hình thoi.
Xét bài toán tổng quát:
ABCD là hình thoi, o là giao điểm hai đường chéo.
Theo định lí Pitago ta có:	,	.0	,	.9
AB = OA +OB2 =(-1AC^ n Í7Ã V 77
Suy ra AB
Do đó theo đề bài: AB “ VI 2 I 19 AB = 7õ2 + 42 = 741
Vậy (B) đúng.
Bốn tam giác vuông EAH, EBF, GDH, GCF có:
AE = BE = DG = CG
= ỈAB = ịcD
2 2
HA = FB = DH = CF
= |ad = |bc
2 2
Nên AEAH = AEBE = AGDH = AGCF (c.-g.c)
Suy ra EH = EF = GH = GF Vậy EFGH là hình thoi (theo định nghĩa)
Ta có: EB = EA, FB = FA (gt) nên EF là đường trung bình của AABC.
Do đó EF // AC
HD = HA, GD = GC (gt)
nên HG là đường trung bình của AADC.
Do đó HG // AC
Suy ra EF // HG	 (1)
Chứng minh tương tự EH // FG (2)
Từ (1) và (2) ta được EFGH là hình bình hành.
Lại có EF // AC và BD 1 AC nên BD 1 EF EH // BD và EF ± BD nên EF 1 EH nên FEH = 90°
Hình bình hành EFGH có E = 90° nên là hình chữ nhật.
■ C
a) Hình bình hành nhận giao điểm hai
đường chéo là tâm đôi xứng. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo hình thoi là tâm đối xứng của hình,
BD là đường trung trực cúa AC (do BA = BC, DA = DC) nên A đối xứng với c qua BD.
B và D cũng đối xứng với chính nó qua BD.
Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi.
Tương tự AC cũng là trục đôi xứng của hình thoi.
Các tứ giác IEKF, KGMH là hình thoi nên KJ là phân giác của góc EKF, KM là phân giác của góc GKH.
Mà EKF = HKG^
Nên KU=K^=KC=K5_
Do đó K2 + Ks + K4 = K2 + K3 + Ki = 180°
Suy ra I, K, M thẳng hàng.
3. Bài tập tương tự
Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi M, N lần lượt, là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh các tứ giác ADMN, CDMN là hình thoi.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, p, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, CD, CA.
Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác ABCD có thêm tính chất gì để MNPQ là hình thoi?
Chứng minh tương tự, các điểm I, K, M, N, o cùng nằm trên một đường thẳng.