Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 9. Hình chữ nhật

  • Bài 9. Hình chữ nhật trang 1
  • Bài 9. Hình chữ nhật trang 2
  • Bài 9. Hình chữ nhật trang 3
  • Bài 9. Hình chữ nhật trang 4
  • Bài 9. Hình chữ nhật trang 5
§9. HÌNH CHỮ NHẬT
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
3	
k
T
r
D
c
B
Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Hình chữ rihật cũng là một hình bình hành.
_ ABCD là hình chữ nhật ABCD là tứ giác có A = B = C = D.
Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, cũng là một hình thang cân.
Tính chát
Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành, của hình thang cân.
Định lí
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Dâ'u hiệu nhận biết
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Áp dụng vào tam giác
Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, đường cao AH. Kẻ HE ± AB, HF 1 AC. Chứng minh EF = AH.
Giải
Xét tứ giác_ẠEHF ta có:
EAF - lv (AABC vuông tại A)
HEA=HFA = lv (do HE ĩ AB, HF 1 AC)
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật (Tứ giác có ba góc vuông). Vậy EF = AH (hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau).
Bài tập cơ bản
Điền vào chỗ trống, biết rằng a, b là độ dài các cạnh, d là độ dài đường chéo của một hình chữ nhật.
a
5
7Ĩ3
b
12
Tẽ
d
ol
7 .
Chứng minh rằng:
Giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đối xứng của hình chữ nhật đó.
Hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật là hai trục đối xứng của hình chữ nhật đó.
Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 7cm và 24cm.
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điếm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Tứ giác AHCE là hình gì? Vì sao?
Giải
a '
5
©
VĨ3
b
12
^6
©
d
@
AÍĨÕ
7
25 + 144 — 169
d2-b2 = (7ĨÕ)2 -(Tẽ)2 = 2
Cột thứ hai: d2 = a2 + b2 = 52 + 122 = Nen d = 13
Cột thứ ba:	a2 + b2 = d2 => a2 =
a2 - 10 - 6 = 4 => a
Cột thứ tư:
a:+bĩ =d: => k2 = d2 - a2 = 72 - (7Ĩ3)2
b2 = 49 - 13 = 36 => b = 6
a) Vì hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối
xứng, mà hình chữ nhật là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đối xứng của hình.
b) Vì hình thang cân nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy làm trục đôi xứng, mà hình chữ nhật là một hình thang cân có đáỵ là hai cạnh đô'i xứng của hình chữ nhật, do đó hai đường thẩng đi qua trung điểm hai cạnh đối của hình chữ nhật là trục đối xứng của hình.
Gọi a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông.
Theo định lí Pitago ta có: a2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625 Nên a = 25cm
Trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa độ dài cạnh huyền. Nên trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài là 12,5cm.
vì có hai đường chéo bằng nhau).
Bài tập tương tự
Cho AABC và H là trực tâm. Gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn HA, HB, HC.
Chứng minh các tứ giác MNFD, MEFP là các hình chữ nhật.
Để các đoạn MD, ME, DP bằng nhau thì AABC phải là tam giác gì?
Các câu sau đúng hay sai?
Nếu tam giác ABC vuông tại c thì điếm c thuộc đường tròn có đường kính là AB (h.88).
Nếu điểm c thuộc đường tròn có đường kính là AB (C khác A và B) thì tam giác ABC vuông tại c (h.89).
Tìm X trên hình 90
Hình 91
LUYỆN TẬP
Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, c, D cắt
nhau như trên hình 91.- Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Đố. Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường AB thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (h.92). Đội đã dựng các điểm c, D, E như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn đường EF vuông
góc với DE. Vì sao AB và EF cùng nằm trên một đường thẳng?
Giải
a) Đúng.
Gọi o là trung điểm của AB. Ta có co là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên oc = — AB hay oc = OA = ỌB. Nên A, B, c cùng thuộc đường tròn bán kính OA. Vậy c thuộc đường tròn đường kính AB.
b) Đúng.
Gọi o là tâm đường tròn. Tam giác ABC có trung tuyến co bằng nửa cạnh AB (do co = AO = OB) nên tam giác ABC vuông tại c.
Kẻ BH 1 CD	A
Suy ra DH = 10
52 = 169 - 25 = 144
Nên HC = 5.
Do đó BH2 = 132
=> BH = 12
Vậy X = 12.	ri r
ADEC có Di + Cl =	= 90°
nên Ê = 90°	2
Tương tự F = 90°, G = 90°
Tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Ta có EB = EA, FB = FC (gt)
Nên EF là đường trung bình của AABC Do đó EF // AC
HD = HA, GD = GC Nên HG là đường trung bình của AADC Do đó HG // AC '
Suy ra EF // HG Tương tự EH // FG Do đó EFGH là hình bình hành.
EF // AC và BD 1 AC nên BD	
EH // BD và EF ± BD nên EF ± EH hay FEH = 90°
Hình bình hành EFGH có Ê - 90° nên là hình chữ nhật.
Tứ giác BCDE có:
BC // DE (vì cùng vuông góc với CD)
BC = DE
nên BCDE là hình bình hành
Lại có c = lv
nên BCDE là hình chữ nhật
Do đó CBE = 90°, BDE = 90°
Suy ra AB và EF cùng nằm trên một đường thẳng.