Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 6. Phép trừ các phân thức đại số

§6. PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI số
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Phân thức đôì
Hai phân thức được	gọi là đốì nhau	nếu tổng	của	chúng bằng 0.
Qui tắc: Muôn trừ phân thức cho phân thức —, ta cộng — với . A z - -X. , c	B	B ’ B
phân thức đối của —:
' A_C_A
B D_B + l D,
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
1 - 2x
1. Tìm phân thức đôi của phân thức:
a)
b)-3x + 2
, „ Giải „
1 - 2x 1 — 2x
a) Phân thức đốì của -	là - -——
2x -1
X	XX
b) Phân thức đối của phân thức -3x + 2 là -(-3x + 2) = 3x - 2. 2. Thưc hiện phép tính:
2x-ỷ 2x - y	. , X + 2 x + 1
a) — „	~ „	b)
a)
y-x x-y 2x - y 2x + y 2x - y
Giải
2x + y
x~ + 3x
X2 -9
b)
y - X X - y 2x - y 2x + y
y-x
X2 + 3x X2 - 9
y - X -(x - y) 2x - y + 2x + ỹ 4Xy-x
y - x_
X + 2 +	-(x + 1)
x(x + 3) (x + 2)(x
(X + 3)(x -3) -3)-x(x + l)
2 - X- 6-X2 - X x(x + 2)(x - 3)
-2x - 6
-2(x + 3)
-2
x(x + 3)(x-3) x(x + 3)(x-3) x(x - 3)
2. Bài tập cơ bản
.	, -A A _	, A A
28. Theo qui tăc đôi dâu ta có -Z— = —— . Do đó ta cũng có - — = ——.
h> —ọ	b —-D
,	4	4	4	4
Chăng hạn, phân thức đôi cúa ~— là -	ị =	- .
Áp dụng điều này hãy điền những phân thức tểích hợp vao iĩhững chỗ trống dưới đây:
X2 + 2	4x + 1
chỗ trống dưới đây:
X2 +2
a I-,5? / ,"
29. Làm tính trừ các phân thức sau: 4x-l 7x-l a)
c)
3x y ìlx
3x2y
X -18
b)
5 - X
4x + 5	5 - 9x
2x - 3	3 - 2x
30. Thực hiện các phép tính sau: 3	x-6
a)
d)
2x- 2x
10x-4
b) X2 + 1—
2x -l _
3x + 5
- 4 - lOx X4 - 3x2 + 2
2x + 6	2x2 + 6x	X2 -1
31. Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng 1: 1 ’ 1 1
b)
1
a)
X X + i
32. Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau:
1. ĩ	1
+ 	—	 + .	. 	— +
xy - X
1
y -xy
x(x + 1) (x + l)(x + 2) 1 (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) + -	—	—+
(x + 4)(x + 5) (x + 5)(x + 6)
28. a) -
ỉ2 + 2 X2 + 2
Giải
b)
Ị --T 4x + l
5x -(1 - 5x) 4x +1
.bx-l 4x +1
29. a)
5 - X _ -(5 - x) X - 5 4x -1 7x-l 4x-l -(7x
3x2y 3x2y
3x2y
4x-l
1)
, 3x2y •7x + l
-3x
b)
4x + 5	5 - 9x
2x - 1 2x - 1
_3x2y _	_ 3x2y
4x + 5	-(5 - 9x)
+ ■
xy
c)
llx
X -18
2x - 3	3 - 2x
2x -1 4x + 5 ■
2x -1 5 + 9x
llx^-'x-is + •
13x
2x -1
2x - 3	-(3 - 2x) ■
llx . X-18 llx + x-18 + ■
2x - 3 2x - 3 12x -18	„
2x-3
2x - 3
3x + 5
2x-7 3x + 5 _ 2x - 7
d) lOx - 4 - 4 - lOx = 10x -4 + -(4 - ỊOx) „
2x - 7 3x + 5 2x - 7 + 3x + 5 + ■
lOx - 4 lOx - 4 5x - 2	1
10x-4
30. a)
2(5x32) , 2-(x-6)
+
2x + 6	2x2+6x	2(x + 3) 2x(x + 3)
_ 3x - (x - 6) _ 3x - X + 6 _ 2x + 6 _ 2(x + 3) _1 2x(x + 3)	2x(x + 3) 2x(x + 3) 2x(x + 3) X
2.-1 X4 - 3x2 +2	2.	-(x4 - 3x2 + 2)
b) X +1	„	.	= X + 1 +
X2 -1
(x2 + l)(x2 - 1) - X4 + 3x2 - 2
3(x2 -1)
X2 -1 1 1
X2 -1
X - 1
X4 - 1 - X4 + 3x2 - 2 • X2 -1
3x2 -3 X2 -1
_ X + 1 - X _	1
3L a) X - x + l - x(x + 1) " x(x + 1)
1 _ 1 _	1	_	1
b) xy - X2 y2 - xy - x(y - x) y(y - x)
=	y	+	~x	= y^x = J_
xy(y-x) xy(y-x) xy(y-x) xy Nếu cho X, y những giá tri tự nhiên khác 0 thì a) và b) cho ta những
phân số Ai Cập.
32. Ap dụng kết quả bài 3la) ta được:
1 1 1
x(x + Ị) 1
(x + l)(x + 2) x + 1 x + 2
Do đó:
+ 5)(x + 6)_l + ■
x(x +1) (x + l)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) ’
1 1 11.1 1
4“ 	——	—— + 	——	—— —	—I	— + ...
(x + 4)(x + 5) (x + 5)(x + 6) X „x + 1 X +_1 x + 2
... +
X + 5 3. Bài tập tương tự
1. Thực hiện phép tính:
x-y x + y
X + 6 X X + 6 x(x + 6) x(x + 6)
a)
c)
2x
X + 9y
2x
3y
X2 - 9y 2 2. Tìm A biết
, A ,	15
a) A +
X + 3xy
b)
d)
2x
X -1
1
3x-6
10
3x - 2 3x + 2	4 - 9x2
3y	X + 9y
X + 1 X - (x2 + 1) b) A + X2 + 3xy X2 - 9y2
LUYỆN TẬP
Làm các phép tính sau:
4xy - 5	6y2 - 5	7x 4- 6 3x 4- 6
a) 10x3y - 10x3y	,	b) 2x(x + 7) - 2x2 + 14x
Dùng qui tắc đôi dấu rồi thực hiện các phép tính:
4x4-13	x-48	'	’	1	25X-15
a) 5x(x-7)	5x(7 - x)	k) X - 5x2	25x2 -1
Thực hiện các phép tính:
x + 1	1-x 2x(l - x)	3x 4-1	.1 Ị X 4- 3
a) X - 3 X 4-3	9 - X2	k) (x — l)2, X 4-1	1 - X2
Một công ti may phải sản xuất 10 000 sản phẩm trong X ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm.
Hãy biếu diễn qua x:
Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch;
Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày;
Số sản phẩm làm thêm trong một ngày.
Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với X = 25.
_ .	_	2x 4-1	,	.
Đô. Cho phân thức ———. Đô em tìm được một phân thức mà khi lấy phân thức đã cho trừ đi phân thức phải tìm thì được một phân thức bằng phân thức đối của phân thức đã cho.
Giải
„„ o') 4xy-5 _ 6y2 -5 _ 4xy-5-(6y2 -5)
■ a 10x3y	10x3y	10x3y n
_ 4xy - 5 - 6y2 4- 5 _ 4xy - 6y2
10x3y	_	10x3y
_ 2y(2x - 3y) _ 2x - 3y
10x_3y	“	5x3
7x4-6	3x4-6	_ 7x4-6	-(3x4-6)
2x(x4-7)	2x2 4-14x 2x(x 4-7)	2x(x-t-7)
_ 7x4- 6-3X-6 _ 4x _	2
2x(x 4-7)	2x(x4-7) X 4-7
4x4-13 X - 48 _ 4x4-13	x-48
34‘ a) 5x(x-7) - 5x(x-7) - 5x(x-7) + -5x(7 - x)
4x 4-13 x - 48 _ 4x 4-13 4-X - 48
5x(x-7)	5x(x-7).	5x(x-7)
; 5x - 35 _ 5(x - 7) = JL
5x(x-7)	5x(x-7) X
1	25x -15 _	1	+ 25x15
b) x-5x2	25x2 -1	x(l-5x)	-(25x2-l)
-	1	25x -15 _	1	25x -15
_x(l-5x)	l-25x2	x(l-5x)	(1 - 5x)(l 4-5x)
_ 1 4-5x + x(25x - 15) _ 1 4-5x 4-25x2 - 15 =
x(l - 5x)(l 4- 5x) x(l - 5x)(l 4- 5x)
35. a)
b)
1 - 10x + 25x2
(1 - 5x)2
1 - 5x
x(l - 5x)(l + 5x) x(l - 5x)(l + 5x) x(l + 5x)
X + 1	1 - X 2x(l - x) X +1	-(1 - x) 2x(l - x)
+ ———— +
X - 3 X + 3 Í
X + 1 X - 1
+ ——- +
1 - X2 2x(l - x)
X - 3 X + 3 X + 1 X - 1
+ ——- +
-(9 - X2) 2 2x - 2x2
x-3 x + 3 X2 - 9	x-3 X + 3 (x - 3)(x + 3)
(x + l)(x + 3) + (x - l)(x - 3) + 2 X - 2x2
(x - 3)(x + 3)
X2 + 4x + 3 + X2 - 4x + 3 + 2x - 2x2
(x - 3)(x + 3) 2x + 6	2(x + 3)
(x-3)(x + 3)	(x-3)(x + 3) X
3x + 1	1 X + 3 _ 3x + 1
(x-l)2 7 X + 1 1-x2 - (x-l)2 + x + 1 +-(1-x2)
3x + l -1 , -(x + 3) 3x + l . -1 .	-(x + 3)
+ 	— +	o	=	.	+ 	— +
3
-1
-(X + 3)
(x -1)2 X + 1
(3x + l)(x + 1) - (x - l)2 - (x + 3)(x - 1)
(x-l)2(x + l)
3x2 + 4x + 1 - (x2 - 2x + 1) - (x2 + 2x - 3)
(x-l)2(x + l)
3x2 + 4x + 1 - X2 + 2x -1 - X2 - 2x + 3
2	, o (x-l)2(x + l)
X2 + 4x + 3 X2 + X + 3x + 3
(x-1)2 x + 1 (x — l)(x + 1)
(x — l)2(x + 1)	(x-l)2(x + l) _
x(x + 1) + 3(x + 1) (x + l)(x + 3)
(x — l)2(x + l) (x —l)2(x + l) (x — l)2 36. a) Số sản phẩm phải sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch là (sản phẩm)
10000
10080
Số sản phẩm thực tế đã làm được trong 1 ngậy là -	(sản phẩm)
r,.-	■>	.	10080	10000	,	,	-	,
Sô sán phàm làm thêm trong 1 ngày là 	—	(sản phâm)
10080 10000 X71..,.X b) Với X = 25, biêu thức ——;	3	 có giá trị bằng:
10080 10000
24
25
37. Gọi phân thức phải tìm là —
'—;	có giá trị bằng:
í 1	X
- 420 - 400 = 20 (sản phẩm) c
Theo đầu bài ta có:
2x + 1
2x +1
x 0 D X2 3	" 2x +1 c
Cộng vào hai vế của đẳng thức với phân thức —y—-7 + — ta được:
X - 3 D
2x + 1 2x + 1 7^3 + x^3 Vậy phân thức phải tìm là: