Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

43. a)
5x-10	..	5x-10
: (2x - 4) =
X2 + 7
b) (x2 - 25):
2x + 10
3x-7
c)
X2 + X
2x - 4 5x - 10	1
X2 + 7 '	1
5(x-2).l	=
(x2 +7).2(x-2) =
X2 - 25 2x + 10
2(x2 + 7)
„ 1
c2 -25
3x
3x
■7
■7
(x - 5)(x + 5)(3x - 7)
1 2x +10	2(x + 5)
(x - 5)(3x - 7)	3x2 - 22x + 35
3x + 3
2
5x - 5
5x2 - lOx + 5'5x - 5
5x2 -10x + 5 3x + 3 x(x + l).5(x - 1) X 5(x-1)2.3(x + 1)
44. Vì Q là thương của phép chia ~ X2 + 4 X2 + 2x X2 -
X2 — X
cho
3(x -1)
X2 + 2x
x-1
iieil	2	•	2	■	2 . O—r
X - X X - 1 X - X X + 2x
_ (x- 2-)(x + 2) X - 1	= X - 2
x(x-l) x(x + 2) X2Z
45. Theo cách thực hiện một dãy phép chia ta có thể viết đẳng thức đã cho thành:
xx + lx + 2	_ X
x + lx + 2x + 3	x + 6
Theo bài 41 ta được:
X X +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 X
x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 Vậy ta có thể điền như sau:
X X + 2 X + 3 X + 4 x + 5 X + 6
x+l'x+1 X + 2 x+3 Có thể ra câu đô" tương tự như sau:
X X + 2 X + 3
X + 4 x+5 X + 6
hoặc -—- , .
X + 1 X + 1
3. Bài tập tương tự
1. Làm tính chia:
X2 -ý2
X +1 x + 1 X + 2 X + 2 X + 3
X + 10
a)
x„-y
X
X +15
b)
8x3
4x2
2 + 4X-5 'x2 +10X + 25
X3 - y3
X2 + xy + y2
~ 2 x2-4x + 3 2. Tìm x: c + d
a) —— .X =
X2 - X - 6 :2 + cd
c - d ■	2c2 - 2d2
b)
a2 - 2ab + b2
a2 - ab + b
§9. BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ.
GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Biểu thức hữu tỉ
Một đa thức được gọi là một biểu thức nguyên.
Một biểu thức chỉ chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và chứa biến ở mẫu được gọi là biểu thức phản.
Các biếu thức nguyên và biểu thức phân được gọi chung là biểu thức hữu tỉ.
Giá trị của biểu thức phân
Giá trị của một biểu thức phân chỉ được xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
1. Biến đổi biểu thức sau thành phân thức:
a)
2a
a)
a2 - 2ab + b2
3a
a + b
2a
a2 - 2ab + b2
1
b) x +
Giải
3a (a - b)2	3(a - b)2
b) x +
a + b
J_
y + X
xy
2a 2(a + b) xy X2 + 2xy
X — 1	1
2. Cho biểu thức —2—-	——.
X - X X + 1
Tìm điều kiện của X để giá trị của phân thức được xác định.
Tính giá trị cịia biểu thức tại X = 2.
Giải
Để phân thức được xác định thì x2-x?i0vàx + l#0 hay x(x - 1) * 0 và X+1 * 0. Suy rax^o, X# l,x* -1.
Vậy để phân thức được xác định thì X * 0, X * ±1.
Tại X = 2 thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức, ta tìm được giá trị của phân thức tại X = 2.
Ta có: MTC = x(x - l)(x + 1). Khi đó:
x-l 1 (x - l)(x + 1) x(x-l)
X -X x + l x(x - l)(x + 1) (x + l)x(x-l)
__2	1	__2	2	-I	2	.	1
X - 1	X - X	X - 1 - X + X	X - 1
x(x-l)(x + l) ^x(x-l^)(x + l) x(x - l)(x + 1) x(x — l)(x + 1)
Tại X = 2 ta được	= — .
+ 1/0 2
Vậy tại X = 2 giá trị của phân thức bằng —.
Bài tập cữ bản
Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:
1 , 1	-I ' 2
" 1 + -	1	“
X x	x + l
a) ~1	b) — x2- 2
1-- 1-—---
' x, . '	, x2-l ,
Với giá trị nào của X thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định?
5x	, x X -1
"	b) -V—-
2x + 4	,	,	X -1
2x + 4 48. Cho phân thức
Với điều kiện nào củẵ X thì giá trị của phân thức được xác định?
Rút gọn phân thức.
Tìm giá trị của X để giá trị cua phân thức bằng 1.
Có giá trị nào của X để giá trị của phân thức bằng 0 hay không? 49. Đô'. Đố em tìm được phân thức (của một biến x) mà giá trị của nó
được xác định với mọi giá trị của X khác các ước của 2.
1	1	'	■	Giải
( lì
r lì
=
1--
l XJ
1 XJ
46. a)
1-
b)
1-
1-
fi 2 ì-
X2-2!
l	X + lJ
I x2-lj
x + 1
-2
X +1 - 2 X2 -1 - (x2 - 2)
X 2 - 1 2 - 1 - X2 + 2
47. a)
5x
X + 1	X2 - 1
X - 1 (x - l)(x + 1) x + l'	ĩ
X- 1 _ x + 1 = (X -1)2
(x-l)(x + l)
2x + 4
Giá trị của phân thức được xác định với điều kiện 2x + 4	0.
Suy ra 2x -4 hay X -2
Vậy điều kiện để phân thức ———7 được xác định là X -2.
V	2x + 4
■b) 77—7
Điều kiện để phân thức được xác định là X2 - 1	0 hay (x - l)(x + 1)	0.
Dođóx-l/Ovàx + l/ O hay X 1 và X * -1.
X — 1
Vậy điều kiện để phân thức —2—1 được xác định là X ±1.
48. a) Điều kiện của X để phân thức được xác định là:
(x + 2)2
X + 2 * 0 hay X -2
X2 + 4x 4~ 4
b) Rút gọn phân thức:
+	 /	1 > x + 1	X_1 x + 1 x x + 1
Nếu giá trị của phân thức đã cho bằng 1 thì X + 2 = 1.
Do đó X = -1. Giá trị này thỏa mãn điều kiện của X.
Nếu giá trị của phân thức đã cho bằng 0 thì X + 2 = 0 => X = -2. Giá trị này không thỏa mãn với điều kiện của X (x * -2). Vậy không có giá trị nào của X để biểu thức đã cho có giá trị bằng 0.
49. Các ước của 2 là ±1, ±2.
(x + l)(x - l)(x + 2)(x - 2) * 0]khi X ±1, X * ±2
Vạy có thê' chọn phân thức (x + 1)(x.1xx + 2),x-2)
Bài tập tương tự
Biến đổi biểu thức sau thành phân thức:
l + x	x->
a) —b)
, 2x	xz
1 + 3 - -	y- ---
X
 2 + 1	_	J X-Z
Tìm điều kiện của X để giá trị phân thức được xác định và tìm các giá trị của X để phân thức bằng 0.
3x2 + X - 2	, X2 -1	, Xa) » 2 z	b)
 + 2x2 + X + 2
( X	3x1
thành phân thức đại số và kiếm tra lại dự đoán đó.	X
54. Tìm các giá trị của X để giá trị của các phân thức sau được xác định: 3x + 2 .	,	5
a)L + l M 1-x2
51. Làm các phép tính sau:
(x2 VI ĩ X 1	1
a) ZF + 7 :	+ Z
ly	<y	y X,
b) (x2-l)
b)(x2+4x + 4	x2-4x + 4^ (x + 2	x-2)
52. Chứng tỏ rằng với X 0 va X ±a (a là mọt số nguyên), giá trị của x2 + a2V-2a 4a V
biểu thức a „ , „	•	„ V_Q là một số chẵn.
X -T- a y \ X X a J
-1
x“ -1
50. Thực hiện các phép tính:
í	O..2	\
LUYỆN TẬP
2x + 3
	v - x + a ; kx x.a> là một si chẵn.
53. a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:
1+Ỉ
X
x 1 + - 1+ -----
x 1 + - X
b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức 1 +
1+-
2x - 6x
55. Cho phân thức ——5—7—- .
X -1
a) Với giá trị nào của X thì giá trị của phân thức được xác định?
b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là
c) Để tính giá trị của phân thức đã cho tại X = 2 và tại X = -1, bạn Thắng đã làm như sau:
'° _ 2 +1
Với X = 2, phân thức dã pho có giá trị là "	1 = 3 ;
JL
Với X = -1, phân thức đã cho có giá trị là 1	1 = 0.
Em có đồng ý không? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai. Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị
của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn?
.	3x2 + 6x + 12
56. Cho phân thức 	3—-—— .
Với điều kiện nào của X thì giá trị của phân thức được xác định?
Rút gọn phân thức.
Em có biết tên lcm2 bề mặt da của em có bao nhiên con vi khuẩn không?
Tính giá trị của biểu thức đã cho tại X = 20QQ em sẽ tìm được câu trả
lời thật đáng sợ. (Tuy nhiên trong số đó chỉ co 20% là vi khuẩn có hại).
Giải
í X .yf. 3x2 x + Ị + 1 1-x2-3x2
50-b7ĩ+lH’-r??r xli : 7-Z"
2x + 1 1 - 4x2 2x + 1 1 - X2
x + l '(
1 - 2x)(l + 2x)	1 - 2x
(—	—-lì = (x2-l).
X + 1 — (x — 1) — (x — l)(x + 1)"
Lx-1 x+l )
.. 1 1 „ 1 1 „2,-1
L	(x - l)(x + 1)	J
0	„2
X + 1 2x + l
1 — X2 x + 1 'l-4x2 (l-x)(l + x) 1-X
= (x2 - 1).
(x — l)(x + 1)
b) (x2-l)|
(x-l)(x + l)
(x - l)(x + 1)(3 - X2)
(x í ĩ
l)(x + 1)
À (
= 3-x2
51. a)
X3 + y3
xy
X 1.1
vY y x/
X2 - xy + y2
xy2
_x2.x + y.y2 x.x - xy + y2
xy X'3 + y3
xy2
xy
xy
X - xy + y .2	 . „2i
b)
(x + y)(x - xy + y )xy
xy2(x2 -xy_+y2)
11'
+
X -2 4- X 4- 2 Jx + 2)2	(x-2)2J (x + 2)(x-2)
(x - 2)2 - (x 4-2)2 (x + 2)(x - 2)
(x 4-2)2(x - 2)2 ' 2x (x2 - 4x 4- 4 - X2 - 4x - 4)(x + 2)(x -
2)
52. Ta CÓ
2x(x + 2)2(x - 2)2 -8x	4
2x(x + 2)(x-2)
X + a a - ———
X 4- a
(x + 2)(x - 2) 2a 4a X X - a,
-4
X*-4, ax + a
r - a2 2ax - 2a2 - 4ax
X 4- a
x(a - x)2a(-a - x)
x(x - a)
x(x.+ a)(x - a)
Vi a là số nguyên nên 2a là số chẵn.
.Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số chẵn.
1 ’ X 1 X +1
53. a) • 1 — = —I— -
= 2a
X AX X y Ap dụng câu a^ta có:
X 4-1
= 14-
x + l + x 2x'+l
, „x	X
• Dùng kết quả câu b) ta có:
1 ’ 1 1 +	= 1 4-
2x + l
x + 1
2x 4-1 4- X 4-1
x + 1
2x4-1
3x + 2
2x 4-1	2x4-1.
b) • Đối với các biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau: Qua các kết quả của các bài ở câu a ta thấy kết quả tiếp theo sau là
một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả vế trước đó.
Như vậy có thể dự đoán rằng nếu biểu thức có 4 gạch phân số thì kết quả 5x + 3'	'	.	„	.. 8x4-5
là
, và trong trường hợp này có 5 gạch phân số, kết quả sẽ là
3x 4- 2 Thật vậy: 1 4-
= 14-
14-
3x4-2 2x + l
2x4-1 3x 4- 2
5x 4- 3
do đó 1+
14-
x 3x 4- 2 4- 2x 4-1 5x 4- 3
= 14-
3x4-2
1
5x4-3
3x4-2
3x 4- 2
3x + 2 5x + 3 + 3x + 2 8x + 5
54. a) 2x2 - 6x = 2x(x Vậy X / 0 và X* 3.
5x + 3 5x + 3 3)^0 khi 2x * 0 và X - 3 * 0.
5x + 3
b) X2 - 3 = X2 - (73)2 = (x - 73)(x + 73) * 0 Khi x-73*0va X + 73 * 0. Vậy X -73 Í. a) X2 — 1 = fx — 1 Kx 4- 1) 3Í 0 khi X — 1 i n
55. a) X2 - 1 = (x - l)(x + D* 0 khi X Vậy X* l,x*-l	2
và X * 73 1 * 0 và X + 1 St 0
Vậy X* l,x*-l	9	„	_	,
,.7,,	. s	X +2x + l (x + 1) x + 1
Rut gọn phân thức: 	9—-— = -	.
7 ,77-	7 z , . , X2 -1 (x - l)(x + 1) ' X - 1
Với X = 2, giá trị của phân thức đã cho được xác định, do đó phân 2 + 1
thức đã cho có giá trị bằng 2 2 = 3. Bạn Thắng đã tính đúng.
Với X = -1, giá trị của phân thức đã cho không xác định (vì điều kiện
của biến X để giá trị phân thức được xác định l à X ỳ: 1, X * -1) nên trong trường hợp này bạn Thắng làm sai.
56. a) X3 - 8 = X3 - 23 = (x - 2)(x2 + 2x + 4)
vì X2 + 2x + 4 = X2 + 2x + 1 + 3 - (x + l)2 + 3 > 3
Với mọi giá trị của X nên X3 - 8	0
Khi X - 2 * 0 hay X * 2. Vậy điều kiện của biến là X 2.
b)
3x + 6x + 12
X3 - 8 4001
3(x + 2x + 4)
(x - 2)(x2 + 2x + 4)	x-2
c) Vì X - 2000 * 2 thỏa mãn điều kiện của X nên khi đó giá trị của biểu thức đã eno bằng:
3	3	3.2000	6000	_ _nnn
= 6000
4001
2000
4001-2.2000	4001-2.2000	4001-4000
2000.
Nhữ vậy trên lem2 bề mặt da của ta có 6000 con vi khuẩn, tuy nhiên số vi khuẩn có hại trong số đó là 6000.20% - 1200 con.