Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 3. Rút gọn phân thức

§3. RÚT GỌN PHÂN THỨC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Qui tắc
Muốn rút gọn một phân thức đại số ta phải:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.
Chú ý
Có khi cần đổi dấu tử thức hoặc mẫu thức để xuất hiện nhân tử chung.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Rút gọn phân thức:
150x2y3z5	, 3(x - y)	' X2 + 2x + 1
a) 200x2y7z7	b) y2-x2	c) 5x3 + 5x2
Giải
150x2y3z5 _	3.5.10x2y3z5	_	3
200x2y7z7	4.5.10x2y3y4z5z2	4y4z2
3(x -y) _ -3(x - y) =	-3(x - y) _ -3
V2-X2 - (x2-y2)	(x-y)(x + y) x + y
X2 + 2x + 1 _ (x + l)2 _x + l
c) 5x3 + 5x2	5x2(x + 1)	5x2
2. Bài tập cơ bản
7. Rút gọn phân thức:
, 6x2y2 a)
c)
8xy
2x2 + 2x
b)
d)
10xy2(x + y)
15xy(x + y)3 X2 — xy — X + y
x + 1	9	"	X2 + xy-x-y
Trong tờ nháp của một bạn có ghi một số phép rút gọn phân thức như sau:
3xy _ X	3xy + 3 _ X
a) 17 “ 3	b) ~9y+ 3- - 3
3xy + 3_x + l_x + l	, 3xy + 3x _ x
c) 9y + 9 = 3 + 3 = 6	d) 9y + 9 ” 3
Theo em câu nào đúng, câu nào sai? Em hãy giải thích.
Áp dụng qui tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:
_ _ .	_ . Q	-	2
a)
36(x - 2)
b)
xy
32 - 16x	' 5y -5xy
10. Đố. Đố em rút gọn được phân thức
X7 + X6 + X5 + x4 + X3 + X2 + X + 1
X2 -1
Giải
7. a)
b)
c)
6x2y2 _ 3x.2xy _ 3x 8xy59 - 4y3.2xy2 - 4y3
10xy2(x + y) = 2y.5xy(x + y) =	
15xy(x + y)3	3(x + y)2.5xy(x + y) 3(x + y)2
2x2 + 2x _ 2x(x + 1)
2y
d)
= 2x
x + y _ x(x-y)-(x-y) _ (x-y)(x-l)
X2 + xy - X - y x(x + y) - (x + y) (x + y)(x - 1) X + y 3xy _ x.3y _ X
8. a) -Ịỷ - g	, đúng vì đã chia cả tử và mẫu của vế trái cho 3y.
Vê phải chứng tỏ đã chia mẫu của vế trầi cho 3y + 1 vì 9y + 3 = 3(3y + 1). Nhưng tử của vế trái không có nhân tử 3y + 1. Nên phép rút gọn này sai.
Sai, vì y không phải là nhân tử chung của tử thức và mẫu thức của vế trái.
Đúng, vì đã rút gọn phân thức ở vế trái với nhân tử chung là 3(y + 1).
3xy + 3x _ 3x(y + 1) _ 3x _ X
9y + 9 - 9(y + 1) - T _ 3 36(x - 2)3	36(x - 2)3 _ 36(x - 2)3	9(x - 2)2
9*a) 32 - 16x - 16(2-x) _-16(x-2)
o\3	o\3 ocr
hoặc
36(x-2)3 _ 36(x - 2)3 _ 36[-(x - 2)T!
-4
b)
32-lGx
16(2 - x)
-36(2 - x)3
16(x-2) -9(2 - x)2
	. 16(2 —x)	4
X - xy _ x(x - y) _ -x(y - x) _ 5y2 - 5xy 5y(y - x) 5y(y - x)
—x 5y
10.
X7 + X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1
v2-l
_ x6(x + 1) + x4(x + 1) + x2(x + 1) + (x + 1)
(x - l)(x + 1)
(x + l)(x6 + X4 + X2 + 1) Xs + X4 + X2 + 1	x4(x2 + 1) + X2 + 1
(x-l)(x + l) _ (x4 + l)(x2 + 1)
X - 1
3. Bài tập tương tự
Rút gọn phân thức:
24x3yTz
a) 12„„
16x yz
Chứng minh rằng:
x-1
b)
12(x -y)(y - z)2
15(x - y)(y - z) 3y - z - 3xy + 2x _ 3y -z
c)
3x(x -1)
15x2(1 - x)
1 - 3x - X3 + 3x2	(1 - X)2
LUYỆN TẬP
11. Rút gọn phân thức:
' 12x3y2	. 15x(x + 5)3
a) O....5	b)
18xy&	z	20x2(x + 5)
12. Phân tích tử và mâu thành nhân tử rồi rút gọn phân thức:
3x2-12x + 12	7x2 + 14x + 7,
a)	 b) 3x2+ 3x
,	x4-8x z	K	'	3x2+
13. Ap dụng qui tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức: 45x(3 - x)
a) 15x(x - 3)3
12x3y2 _ 2x2.6xy2	. 2x2 Giải
1L a) 15xy5	3y3.6xy2 " 3y3
15x(x + 5)3	3(x + 5)2.5x(x + 5)
b)
b)
__2 „2 y -X2
X - 3x y + 3xy2 - y3
12. a) -
20x2(x + 5) 3x2 - 12x + 12
X4 - 8x
4x.5x(x + 5) 3(x2 -4x + 4)
x(x3 - 8) , 3(x - 2)2
3(x + 5)2
4x n 3(x - 2)2
x(x3 -23)
3(x - 2)
x(x - 2)(x2 + 2x + 4)	x(x2+2x + 4)
-/„2	, o'. ,	, 1A2	r,/	,
b)
13. a)
7x +14x + 7	7(x + 2x + 1) _ 7(x + l)2 _ 7(x + 1)
b)
3x2 + 3x 45x(3 - x)
15x(x-3)2 y x
3(3-x) (X - 3)3
3x(x + 1) 3x(x + 1
-3(x - 3)
3x
X3 - 3x y + 3xy2 - y3
(x-3)3	(x-3)2
(y + x)(y-x) = —(X + yXy - x)
(x - y)3	- (x - y)3
—(x + y) (x-y)2