Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

§3. NHỮNG HẰNG ĐANG thức đáng nhớ
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Bình phương của một tổng	_____
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Bình phương của một hiệu	
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2 ;
Hiệu của hai bình phương
A2 - B2 = (A + B) (A-B)
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu:
Tính (2a + 3)2; (3a - 2)2
Viết biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
x2 - 4x + 4; 9x2 + y2 + 6xy
Tính nhanh: 1012; 2992; 110.150
Giải
(2a + 3)2 = (2a)2 + 2.2a.3 + 32 .= 4a2 + Í2a.+ 9 (3a - 2)2 = (3a)2 - 2.3a.2 + 22 = 9a2 - 12a + 4
X2 - 4x + 4 = X2 - 2.X.2 + 22 = (x - 2)2
9x2 + y2 + 6xy = (3x)2 + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2
1012 = (100 + l)2 = 1002 + 2.100 + 1 = 10101
2992 = (300 - l)2 = 3002 - 2.300 + 1 = 89401 110.150 = (130 - 20X130 + 20) = 1302 - 202
= 16900 - 400 = 16500
Bài tập cơ bản
Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
X2 + 2x + 1	b) 9x2 + y2 Ỳ 6xy
c) 25a2 + 4b2 - 20ab	d) X2 - X +
Chứng minh rằng:	1
(10a + 5)2 = 100a.(a + 1) + 25	.
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một sô tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đăng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a) X2 + 6xy + ... = (... + 3y)2	b) ... - lOxy + 25y2 = (... - ...)2
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Đố. Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.
Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a - b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?
Giải
'16. a) X2 + 2x + 1 = X2 + 2.X.1 + l2 = (x + l)2
. b) 9x2 + y2 + 6xy = (3x)2 + 2.3.x.y + y2 = (3x + y)2
25a2 + 4b2 - 20ab =,(5a)2 - 2.5a.2b + (2b)2 = (5a - 2b)2 Hoặc 25a2 + 4b2 - 20ab = (2b)2 - 2;2b.5ạ + (5a)2 = (2b - 5a)2
L i.2 1,1 1 2 oll.flifZ 1|-
X -x + 4-= X -2.X.-7 + 7-	= X — 7-
4	2 t 2 J 1 -2J	z	„
2 „11 „ , „2 1( 1 I a 1 „ . „2 <1
•	4 4	„	12 J 2	<2	)
Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52
= 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25
Cách tính nhẩm bình phương củạ một số có tận cùng bằng chữ số 5:
Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 1 Oa + 5 và ta được
(10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25
Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.
Áp dụng:
Để tính 252 ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.
Để tính 352 ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.
. 652 = 4225
752 = 5625
a) x2' + 2.x.3y + ... = (... + 3y)2
X2 + 2,x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 Vậy: x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2
... -2.x.5y + (5y)2 = (... - ...)2
X2 - 2.x.5y + (5y)2 = (x - 5y)2 Vậy: X2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y)2
Đề bài tương tự: Chang hạn:
4x + 4xy + ... = (... + y2)
- 7 Sxy + y2 = (••• - )2
Diện tích của miếng tôn là (a + b)2.
Diện tích của miếng tôn phải cắt là (a - b)2.
Phần diện tích còn lại là (a + b)2 - (a - b)2.
Ta có: (a + b)2 - (a - b)2 = a2 + 2ab + b2 - (a2 - 2ab - b2)
= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2 = lab
Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.
Bài tập tương tự
Điền vào chỗ các dâu “?” sau đây đế có các đẳng thức đúng:
(? + ?)2 = X2 + ? + 4y4	d) ? - 16y4 = (x + ?)(x - ?) “
(? - ?)2 = a2 - 6ab + ?	e) 25a2 - ? = Ự.+	—b^
(?+?)2 =?+m + ị	.	■
4
LUYỆN TẬP
Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:
X2 + 2xy + 4y2 - (x + 2y)2
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
9x2 - 6x + 1	b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Tính nhanh:
1012	b) 1992	c) 47.53
Chứng minh rằng:
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
Áp dụng
Tính (a - b)2, biết a + b = 7 và a.b = 12
Tính (a + b)2, biết a - b = 20 và a.b = 3
Tính giá trị của biêu thức 49x2 - 70x j- 25 trong mỗi trường hợp sau:
a) X = 5	b) X = -ệ
Tính:	1
a) (a + b + c)2	b) (a + b - c)2	c) (a - b - c)2
Giải
Nhận xét sự đúng, sai:
Ta cồ: (x + 2y)2 = X2 + 2.x.2y + 4y2 = X2 + 4xy + 4y2
Nên kết quả X2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 sai
a) 9x2 - êx + 1 = (3x)2 - 2.3x.l + l2 = (3x - l)2
Hoặc 9x2 -6x + l = l-6x + 9x2 = (1 - 3x)2
(2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1 = (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y).l + l2
= i(2x + 3y) + I]2 = (2x + 3y + l)2
Đề bài tương tự. Chẳng hạn:
1 + 2(x + 2y) + (x + 2y)2 4x2 - 12x + 9 ...
a) 1012 = (100 + l)2 = 1002 + 2.100 + 1 = 10201
1992 = (200 - l)2 = 2002 - 2.200 + 1 = 39601
47.53 = (50 - 3)(50 + 3) = 502 - 32 = 2500 - 9 = 2491
a) (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
Biến đổi vê trái:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 - 2ab + b2 + 4ab = (a - b)2 + 4ab
Vậy (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
Hoặc biến đổi vế phải:
(a - b)2 + 4ab = a2 - 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Vậy (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab Biến đồi vế phải:
(a + b)2 - 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab
= a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Vậy (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab Áp dụng: Tính:
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab = 72 - 4.12 = 49 - 48 = 1 .
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab = 202 + 4.3 = 400 + 12 = 412
49x2 - 70x + 25 = (7x)2 - 2.7x.5 + 52 = (7x - 5)2
Với X = 5 :'(7.5 - 5)2 = (35 - 5)2 = 302 = 900
Với X = ệ:[j.ệ-5Ì =(l-5)2 = (-4)2 =16
a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(a + b - c)2 = [(a + b) - c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 - 2ac - 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ac
(a - b - c)2 = [(a - b) - c]2 - (a - b)2 -,2(a - b)c + c2
= a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac