Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 7. Hình bình hành

§7. HÌNH BÌNH HÀNH
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Định nghĩa
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
[AB//CD
ABCD là hình bình hành ì AP) // 30
Nliận xét: Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh bên song song.
Tính châ't	■ '
Định lí:
Trong hình bình hành:
Các cạnh đối bằng nhau.
Các góc đối bằng nhau.
TT •	3 .S,	„1. ' _ -XX — 1	
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điếm của mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết
Tứ	giác	có	các	cạnh đối song song là hình bình hành.
Tứ	giác	có	các	cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ	giác	có	hai	cạnh đối song song và bằng nhau là hình	bình	hành.
Tứ	giác	có	các	góc đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ	giác	có	hai	đường chéo cắt nhau tại trung điếm của	mỗi	đường
là hình bình hành.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
Cho hình bình hành ABCD; E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Đường chéo AC cắt BE, DF lần lượt tại p, Q. Gọi R là trung điểm của đoạn thẳng BP. Chứng minh:
a) AP = PQ - QC	b) Tứ giác ARQE là hình bình hành.
Giải
Từ (1) và (2) suy ra AP = PQ = QC
Theo trên ta có p là trọng tâm của AABD nên:
EP=ịpB = PR (gt) 2
Tứ giác ARAE có: PA = PQ (cmt)
. PE = PR (cmt)
Tức là tứ giác ARQE có các đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường. Vậy tứ giác ARQE là hình bình hành.
Bài tập cơ bản
Các tứ giác ABCD, EFGH, MNPQ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 71 có là hình bình hành hay không?
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng BE = DF.
Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.
Chứng minh rằng DE // BF.
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao? Giải
43. Cả ba tứ giác là hình bình hành.
Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có
AB // CD và AB = CD = 3 (dấu hiệu nhận biết 3)
Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có
EH // FG và EH = FH = 3 (dấu hiệu nhận biết 3)
Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì có
MN = QP và MQ = NP (dấu hiệu nhận biết 2)-
A
B
E
F
/
/
/
,,
G
D
c
H
N
M
—
—-
/
—
/
\
\
/
—
p-
é
—*
—
Chú ý:
Với các tứ giác ABCD, EFGH còn có thể nhận biết là hình bình hành bằng dấu hiệu nhận biết 2.
Với tứ giác MNPQ còn có thể nhận biết là hình bình hành bằng dấu hiệu nhận biết 5.
Tứ giác BEDF có:
DE // BF (vì AD // BC)
DE = BF (DE = ị AD = |bC = BF)
2 2
Nên BEDF là hình bình hành.
Suy ra BE = DF.
a) Ta có Bi = Di (cùng bằng nửa hai góc bằ
nên AB // CD
suy ra Bì - Ị?! (so le trong)
Nên Di =Fi-
Do đó DE // BF (có hai góc đồng vị bằng nhau) b) Tứ giác DEBF có:
DE // BF (chứng minh ở câu a)
BE // DF (vì AB // CD)
Nên theo định nghĩa DEBF là hình bình hành.
Bài tập tương tự
Cho AABC; N, p, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và I, J, K lần lượt là trung điểm của các đoận thẳng NP, BP, NC. Chứng minh tứ giác IJKQ là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy hai điểm E, F sao cho AE = EF = FC.
Chứng minh BFDE là hình bình hành.
Tia DF cắt cạnh CB tại điểm M. Chứng minh DF = 2FM.
46. Các câu sau đúng hay sai?
HI Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành. Ì)| Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
LUYỆN TẬP
Tứ giác có hai cạnh đôi bằng nhau là hình bình hành.
Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
Cho hình 72, trong đó ABCD là hình bình hành.
Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành.
Gọi o là trung điểm của HK. Chứng minh rằng ba điểm A, o, c thẳng hàng.
Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB.
Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:
AI // CK	b) DM = MN = NB
Giải
a) Đúng, vì hình thang có hai đáy song song lại có thêm hai cạnh đáy
bằng nhau nên là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết 5.
Đúng, vì khi đó ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành (định nghĩa).
Sai, vì hình thang cân có hai cạnh đối (hai cạnh bên) bằng nhau nhưng nó không phải là hình bình hành.
Sai, vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không phải là hình bình hành.
a) Hai tam giác vuông AHD và CKB có:
AD = CB (gt)
Di = Bi (so le trong)
N eâ AAHD = ACKB (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra AH = CK
Tứ giác AHCK có AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành, b) Xét hình bình hành AHCK, trung điểm o của đường chéo HK cũng là trung điểm của đường chéo AC (tính chất đường chéo của hình bình hành). Do đó ba điểm A, 0, c thẳng hàng.
Tứ giác EFGH là hình bình hành.
Cách 1: EB = EA, FB = FC (gt) nên EF là đường trung bình của AABC.
Do đó FF//AC
Tương tự HG là đường trung bình của AACD.
Do do HG // AC Suy ra EF // HG	(1)
Từ (1) và (2) suy ra EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết 1). Cách 2: EF là đường trung bình của AABC nên EF = ỉ AC •
HG là đường trung bình của AACD nên HG = — AC .
Suy ra EF = HG
Lại có EF // HG (chứng minh trên)
Vậy EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết 3).
Tương tự EH//FG	(2)
a) Tứ giác ABCD có AB = CD, AD = BC nên là hình bình hành.
Tứ giác AICK có AK // IC, AK = IC nên là hình bình hành.
Do đó AI // CK.	A z K , B
b) ADCN có DI = IC, IM // CN.	/\	v>7
(vì AI // CK) nên suy ra DM = MN	/	X
Chứng minh tương tự đối với AABM ta có MN = NB.	\/
Vậy DM = MN = NB	£ ' * I J