Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 5. Diện tích hình thoi

  • Bài 5. Diện tích hình thoi trang 1
  • Bài 5. Diện tích hình thoi trang 2
  • Bài 5. Diện tích hình thoi trang 3
  • Bài 5. Diện tích hình thoi trang 4
§5. DIỆN TÍCH HÌNH THOI
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
c
Cách tính diện tích của một tứ giác có hai đường chéo vuông góc
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích độ dài hai đường chéo đó Sabcd = —AC.BD
D
Công thức tính diện tích hình thoi
Diện tích hinljL thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo s = -|-d1.d2
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 1. Bài tập mẫu
Hai đường chéo của một hình thoi có độ dài 72cm và 96cm. Tính:
Diện tích hình thoi.
Độ dài cạnh hình thoi.
Độ dài đường cao hình thoi.
A
Giải
SABCD = IaC.BD = 1.72.96 = 3456 (cm2)
Trong tarn giác vuông AOB ta CÓ:
AB a/aO2 + OB2
= a/362 + 482 = 60 (cm)
Giạ sử AH là đường cao hình thoi kẻ từ đỉnh A, ta có: c
®ABCD - AH.CD
3456	__ „ .	.
= 57,6 (cm)
ABCD
Do đó: AH =
32
CD 60
Bài tập cơ bản
a) Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là: 3,6cm, 6cm và
hai đường chéo đó vuông góc với nhau. Có thê vẽ được bao nhiêu tứ giác như vậy? Hãy tính diện tích mỗi tứ giác vừa vẽ.
b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d.
Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của một hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.
Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật. Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.
Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6cm và một trong các góc của nó có số đo là 60°.
Cho một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lổn hơn? Vì sao?
Giải
a) Học sinh tự vẽ tứ giác thỏa mãn điều kiện đề bài. Chẳng hạn tứ giác ABCD ở hình bên có
AC = 6cm
< BD = 3,6cm
AC1BD
Có thể vẽ được vô số tứ giác theo yêu cầu từ đề bài:
'AC = 6cm BD = 3,6cm
AC ± BD tại I vđi I là điểm tùy ý thuộc đoạn AC và BD Diện tích của tứ giác vừa vẽ:
Sabcd = |aC.BD = 1.6.3,6 = 10,8 (cm2)
b) Diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d.
Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau, nên
diện tích là:
s = jd.d=ld2 2 2
Z	I
M
B
Cho hình thoi MNPQ, vẽ hình chữ nhật có A	N
một cạnh là đường chéo MP, cạnh kia bằng IN(IN = |nQ).	.
Khi đó diện tích của hình chữ nhật MPBA bằng diện tích hình thoi MNPQ.
Thật vậy S„PBA = MP.IN = MP.|nQ = |mpnq = s„npq
Vẽ hình chữ nhật ABCD với các trung điểm	Q
I	\
Q
B
các cạnh là M, N, p, Q.	AN
Vẽ tứ giác MNPQ.
Ta có:	MN = PQ=|bD
np = mq = |ac	m
Mà AC = BD
Nên tứ giác MNPQ là hình thoi vì có bôn cạnh bằng nhau.
Dễ dàng chứng minh rằng: AAMN = AINM,
ABPN = ANIP
APCQ = AIQP, ADMQ = AIQM Do đó SMNPQ =— SABCD mà SABCD = AB.AD = MP.NQ Vậy SMNPQ=ÌMP.NQ
Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 6cm,
 = 60°. _	'
Khi đó.AABC là tam giác đều. Từ B vẽ BH ± AD thì HA = HD. Nên tam giác vuông AHB là nửa tam giác đều, BH là đường cạo tam giác đều cạnh 6cm, nên BH= 6^3 = 3^3 (cm) ơ)
Cac/Ỉ Rhãc:
AABD là tam giác đều nên BD - AB = 6cm, AI là đường cao tam giác
đều nên AI =	= 3-^3 (cm) => AC = 6 VI (cm)
2
Nên SABCD = — BD.AC = ■^■6.6.VI = I8V3 (cm2)
Cách tính độ dài đường cao BH:
Theo định lí Pitago, tam giác vuông ABH có:
AB
Nên SABCD - BH.AD = 3-s/3.6 = 18^/3 (cm2)
BH = AB - AH = AB -
Cách khác:
- AB2 AB2 - 3AB
1V3
Tống quát: Đường cao tam giác đều cạnh a có độ'dài là: ha =
Nên BH = AB-^ = -^1 = 3a/3 (cm)
2 2
JMNPQ
= a2
B
Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng chu vi là 4a. Suy ra cạnh hình thoi và cạnh hình vuông đều có độ dài a.
Taco: S,
	9,. P,
Từ đỉnh góc tù A của hình thoi ABCD vẽ đường cao AH có độ dài h. Khi đó SABCD = ah...	"
Nhưng h < a (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)
nên ah < a2
Vậy SABCD < SMNPQ
Dấu “=” xảy ra khi h = a hay H trùng với D, nghĩa là hình thoi ABCD trở thành hình vuông.
Bài tập tương tự
Cho hình thoi ABCD. Biết AB = 10cm, AI = 6cm (I là giao điếm của hai đường chéo). Tính diện tích hình thoi.
Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của nó dài 12,2cm và một trong các góc của nó có số đo 30°.