Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 4. Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức

Mẫu thức chung cần tìm là một tích .mà các nhân tử được chọn như sau:
Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã học. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).
Với mỗi cơ số của lũy thừa có mặt trong các mẫu thức ta chọn lũy thừa với sô mũ cao nhất.
Qui đồng mẫu thức
Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Tìm mẫu thức chung của các phân thức rồi qui đồng mẫu: 2x -y 13z	20	4	7
a) 9y2z ’ 15xz2 ’ 63x2y3	2?.,4x3 - X ’ X - 2x2 ’ 2x2 + X
Giải
a) BCNN (9,15,63) = 315 MTC : 315x2y3z2 Thừa số phụ tương ứng: 35x2yz; 21xy3; 5z2
2x _ 2x.35x2yz _ 70x3yz Ta co: 9y2z 9y2z.35x2yz	315x2y3z2
= -y =	-y-21xy3	= -21xy4
15xz2	15.x.z2.21xy3	315x2y3z2
13z	13z.5z2	65z3
63x2y3	63x2y_3.5z2	315x2y3z2
b) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
4x3 - X = x(4x2 - 1) = x(2x + l)(2x - 1)
2x2 - X = x(2x - 1)
2x2 + X = x(2x + 1)
MTC: x(2x + l)(2x - 1)
Nhân tử phụ: 1; 2x + 1; 2x - 1 20 _ 20
Ta co: 4X3 _ x x(2x + I)(2x - 1)
4	_	-4	_	-4	_	-4(2x +1)
X - 2x2 _ 2x2 - X x(2x - 1) x(2x - l)(2x + 1) 7	7	7(2x -1)
2x2 + X x(2x + 1) x(2x + l)(2x - 1)
2. Bài tập cơ bản
14. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau:
„7 5	7	ầ
a) y,.;-- —	b)
11
4„2
x5y3’l2Xy	15x3y5' 12x4y
15. Qui đồng mau thức các phân thức sau: a) _	-,	b)
2x
2x + 6 ’ X2 - 9
X2 - 8x + 16 ’ 3x2 - 12x
Qui đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng qui tắc dổi dấu với một phân thức đế’ tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn):
, 4x2'-3x + 5	1 - 2x o	,10	5	1
a)	ZsA	’ ..2 . ■ . , ’ ~2	b)
X3 - 1	X2 + X + 1
Đô'. Cho hai phân thức:
5x2
3x +18x
X + 2 2x - 4 6 - 3x
. 1>Ư. Viiư 11O1 piioii biiuv. 3	2 ’	2
X - 6x X - 36
Khi qui đồng mẫu thức, bạn Tuấn đã chọn MTC = x2(x - 6)(x + 6), còn bạn Lan bảo rằng: “Quá đơn giản! MTC = X - 6”. Đô’ em biết bạn nào chọn đúng?
Giải
14. a) • MTC = 12x5y4
• Nhân tử phụ: 12x5y4 7 x5y3 - 12y 12x5y4 : 12x3y4 = x2 5	_ 5?12y	_ 60y
Qui đồng:
x5y3 x5y3.12y 7	7x2
12x5y4
7x2
5 4
b)
12x3y4	12x3y4x2	12x5y
MTC = 60x4y5
Nhân tử phụ: 60x4y5 : 15x3y5 = 4x
60x4y5 : 12x4y2 - 5y3 _	4	4.4x	16x
Qui đồng: 15x3 5 -
y“ 15xayb.4x_ 60x4yb__ „ 11	_ il 5y3	_ 55y3
60x4y5
12x4y2	12x4y2.5y3
15. a) Tìm MTC: 2x + 6 = 2(x + 3) x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
MTC = 2(x - 3)(x + 3) = 2(x2 - 9)
Nhân tử phụ: 2(x - 3)(x + 3) : 2(x + 3) = X
’ 2(x - 3)(x + 3) : (x2 - 9) = 2
5	-	5 í 5(x-3)
Qui đông:
2x + 6
2^x + 3)
2(x - 3)£x + 3)
. X2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 2(x - 3)(x + 3) b) • Tìm MTC: X2 - 8x + 16 = (x - 4)2
3x2 - 12x = 3x(x - 4)
MTC = 3x(x - 4)2
Nhân tử phụ: 3x(x - 4)2 : (x - 4)2 = 3x
3x(x - 4)2 : 3x(x - 4) = X - 4 2x	2x	2x.3x
Qui đông:
2(x - 3)(x + 3)
6x2
X - 8x + 16 X
(x
-4)
X
3x(x - 4) x(x -
4)
3x(x-4)2
„ 3x2 - 12 3x(x - 4) 3x(x - 4)2 16. a) • Tìm MTC: X3 - 1 = (x - l)(x2 + X + 1)
Nên MTC = (x - l)(x2 + X + 1)
• Nhân tử phụ: (x3 - 1) : (x3 - 1) = 1
'2 + X + 1) = X
(x - l)(x2 + X + 1) : (x‘
Qui đồng:
(x - l)(x2 + X + 1) : 1 = (x - l)(x2 + X + 1) 4x2 - 3x + 5	4x2 - 3x + 5
X3 -1 1 - 2x
(X - l)(x2 + X + 1)
	 (x-l)(l-2x)
+ X + 1 (x - l)(x2 + X + 1)
-2 =
-2(x -1)
(x - l)(x2 + X + 1)
b) • Tìm MTC: X + 2
2x - 4 = 2(x - 2)
6 - 3x = 3(2 - x) = 3(x - 2)
MTC = 6(x - 2)(x + 2)
• Nhân tử phụ: 6(x - 2)(x + 2) : (x + 2) = 6(x - 6(x - 2)(x + 2) : 2(x - 2) = 3(x + 2)
6(x - 2)(x + 2) : -3(x - 2) = -2(x + 2)
• Qui đồng:
10	10.6ÍX-2)	60(x-2)
2)
6(x - 2)(x + 2) _ 6(x-2)(x + 2)
5	_	5.3(x + 2)	_	15(x + 2)
“ 2(x -2)~
1
2x-4	2(x - 2)	2(x - 2).3(x + 2)	6(x
1	1	l.[-2(x + 2)]
6 - 3x “ -3(x - 2) - -3(x - 2).[-2(x + 2)] - 6(x - 2)(x + 2) 17. Cách làm của bạn Tuấn:
2)(x + 2) -2(x + 2)
X3 - 6x2 = x2(x - 6)
X2 - 36 = X2 - 62 = (x - 6)(x + 6) MTC = x2(x - 6)(x + 6)
Nên bạn Tuấn ỉàm đúng.
Cách làm của bạn Lan:
5x2	5
5x2
X3 - 6x2 3x2 + 18
x2(x - 6) _ X - 6 3x(x + 6) 3x
X2 -36	(_x-6)(x + 6)
MTC = X - 6 Nên bạn Lan làm đúng.
Vậy cả hai bạn đều làm đúng. Bạn Tuấn đã tìm MTC theo đúng qui tắc. Bạn Lan thì rút gọn các phân thức trước khi tìm MTC.
3. Bài tập tương tự
Qui đồng mẫu thức các phân thức:
a)	—	 và	b) —và
c)
,, ’ „2 ,2 x-y X -y
X3 + 2x2 + X 1 và —7—
4 - y2 ’ 6 + 3y 10 - 5y
LUYỆN TẬP
18. Qui đồng mẫu thức hai phân thức:
3x . X + 3
a) -——7 và -7—7	b)
2x + 4
X2 -4
và
3x + 6
19. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau:
18	ợ
ạ) - - - -, -	2	b) X + 1,
X2 -1
c)
3	n__2__ . o	2	3 ’	2
X -3x y + 3xy -y y2-xy
1	X
20. Cho hai phân thức: ——„	—, ——„——
X2 + 3x - io; X2+ 7x + 10
Không dùng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, hãy chứng tỏ rằng có thể qui đồng mẫu thức hai phân thức này với mẫu thức chung là
X3 + 5x2 - 4x - 20.
Giải
18. a) Ta có: 2x + 4 = 2(x + 2)
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Nên:
MTC = 2(x - 2)(x + 2) = 2(x2 - 4) 3x	3x(x - 2) 3x(x - 2)
_=	. ì
X--4	(x-2)(x + 2).2	2(x2-4)
b) Ta có: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 3x + 6 = 3(x + 2)
MTC = 3(x + 2)2
(x + 5).3	3(x + 5)
2x + 4 x + 3
2(x + 2)(x - 2)
(x + 3).2
2(x2 - 4 s(x + 3
Nên:
X + 5
X2 + 4x + 4 X
(x + 2)2.3	3(x + 2)2
x.(x + 2) x(x + 2)
3x + 6	3(x + 2).(x + 2)	3(x + 2)2
19. a) MTC = x(2 - x)(2 + x)
1	"	1	_	x(2 - x)
X + 2	2 + x x(2 - x)(2 + x)
8	=	8	_	8(2 + x)
2x - X2 x(2 - x) x(2 - x)(2 + x) b) MTC = x2 - 1	_
X +1 (x +l)(x2-l) X
1.
X2 -1
X2 -1
c) • MTC: Ta có
X"
,3
- 1 X2 - 1
xư - 3x2y + 3xy2 - y3 = (x - y)3 y2 - xy = y(y - x) = -y(x - y) nên MTC = y(x - y)3 Qui đồng mẫu thức:
x3y
X3 - 3x2y + 3xy2 - y3
X _ X _ Ji
ỵ2 -jy y(y ~ xỉ _y(x
(x-y)3
X
y(x-y)3 -X	—x(x - y)
,	y) oy('x_7) y(x-yi!
20. Đê chứng tỏ rang có thê chọn đa thức X2 + 5x2 - 4x - 20 làm mẫu thức chung ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chĩa hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.
Thật vậy, ta có:
X3 + 5x2 - 4x - 20 = (x2 + 3x - 10)(x + 2)
= (x2 + 7x + 10)(x - 2)
Nên MTC = X3 + 5x2 - 4x - 20 -
10
1	l(x + 2)	
X2 + 3x X
(x2 + 3x - 10)(x + 2) X3 + 5x2 - 4x - 20 x(x-2)	V--9.Y
X2+7X + 10	(x2 +7x + 10)(x-2) X3 + 5x2 - 4x - 20