Giải bài tập Toán lớp 8: Ôn tập chương II

ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. CÂU HỎI
Phát biểu qui tắc trừ hai phân thức đại số.
Phát biểu qui tắc nhân hai phân thức đại số.
Cho phân thức khác 0, viết phân thức nghịch đảo của nó.
Phát biêu qui tắc chia hai phân thức đại sô.
Giả sử	là một phân thức của biến X. Hãy nêu điều kiện của
biến để gia trị của phân thức được xác định.
TRẢ LỜI
Định n^hĩa phân thức đại số: Phân thức đại số là một biểu thức có dạng B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
Một đa thức được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
Một số thực a bất kì cũng là một phân thức đại số.
Hai phân thức và — gọi là bằng nhau nếu AD = BC.
>	.D 9	-U, A	Z
Tính chất cơ bản của phần thức đại số.
Xem SGK. trang 37.
Qui tắc rút gọn một phân thức đại số.
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
8x-4	4(2x-l)_	4(2x-l)	_	4
Rút gọn: 8x3 _ 1 - (2x)3 _ x - (2x _ 1)(4x2 + 2x + 1) - 4x2 + 2x + 1
Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau. Xem SGK trang 42.
_ .	x '	3
Qui đồng mâu của hai phân thức 2 , »	, 1 va 772—7 •
Ta có: X2 + 2x + .1 = (x + l)2
5x2 - 5 = 5(x2 - 1) = 5(x - l)(x + 1)
MTC: 5(x - l)(x + l)2
Nhân tử phụ tương ứng: 5(x - 1) . (x + 1)
X _ X _	x.5(x -1)	_ 5x(x -1)
Ta co: x2 + 2x + 1 (x + l)2 (x + l)2.5(x -1)	5(x-2)(x + l)2
3	_	3	_	3.(x +1)	=	3(x +1)
5x2-5	5(x-1)(x + 1)	5(x - l)(x + l)(x + 1)	5(x-l)(x + l)2
Qui tắc cộng hai phân thức cùng mẫu, khác mẫu. Xem SGK trang 44, 45.
,, ,	° 3x X -1
Qui tắc trừ hai phân thức đại số xem SGK trang 49
Qui tắc nhân hai phân thức đại số: xem SGK trang 51
lA „	A „ B
Phân thức nghịch đảo của phân thức — khác 0 là —.
'	'	z B	A
Qui tắc chia hai phân thức đại số, xem SGK trang 54.
Điểu kiện của biến đê giá trị của phân thức	được xác định là
các giá trị của biến X thỏa mãn B(x) * 0.
B. BÀI TAP
57. Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:
a)
và
3x + 6
2x - 3	2x2 + X - 6
58. Thực hiện các phép tính sau:
b)
a)
c)
2x + 1 2x -1
4x
2x
1
1 2x + Ị
x3-x
10x + 5 1
b)
và
X2 + X
1 X2 * 1
2x + 6x
X3 +7x2 +12x
2-x x + 1
X2 -2x + l_ 1 — X2 xP yP	r, _ xy
59. a) Cho biểu thức , n _ 7 n • Thay p - „ vào biểu thức đã cho
X+Py-P J X - y rồi rút gọn biểu thức'
P2Q2 	_ 2xy , „ 2xy
b) Cho biểu thức 77—77 . Thay p - 72 TV va Q - _2 . „2 vào biểu
JP 7.Q
thức đã cho rỗi rút gọn biếu thức.
-	, ~ f x + 1 _	3 x + 3^1 4x2-4
60' cỉ“biểu th7 1?FV?7j:&72/7F“-	
Hãy tìm điều kiện của X để giá trị cua biểu thức được xác định.
Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến X.
J* / A ' 9	°, f 5x + 2	5x - 2 A X2 - 100
61. Tìm điều kiện của X đê giá trị của biếu thức “7—77'" —2 in ■ —" —
“	1	1	, .7 <x .-ỊOx X2+10xJ
được xác định. Tính giá trị của biếu thức tại X = 20040.
..'2	1 ru. I oc
62. Tìm giá trị của X để giá trị của phân thức
X2 - ỊQx + 25
X2 - 5x
bằng 0.
Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của X để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:
x 3x2 -4x-17 ’	, X2 - X + 2
„,777/77, 	 7/777
Tính giá trị của phân thức trong bài tập 62 tại X = 1,12 và làm tròn
kết quả đến chữ số thập phân thứ ba.
o	n __./■**	Giải
3	, 3x + 6
57. a) 7777 và 7 7«
Cách 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau.
3	_ 3x + 6
2x - 3	2x2 + X - 6
vì 3(2x2 + X - 6) = 6x2 + 3x - 18
= 6x2 + 12x - 9x - 18 = 2x(3x + 6) - 3(3x + 6)
= (2x - 3)(3x + 6) Cách 2: Rút gọn phân thức
3x + 6	_	3(x + 2)
2x2 + X - 6	2x2 + 4x - 3x - 6
3(x + 2)
3(x + 2)
2x(x + 2) - 3(x + 2) 3
b)
X + 4
Cách 1:
và
(x + 2)(2x - 3) 2x2 + 6x
X3 + 7x + 12
2x + 6x + 7x2 + 12x
2x - 3
x + 4 X” + /X’ + 1ZX Vì 2.(x3 + 7x2 + 12x) = 2x3 + 14x2 + 24x (x + 4)(2x2 + 6x) = 2x3 + 6x2 + 8x2 + 24x = 2x3 + 14x2 + 24x
nghĩa là 2(x3 + 7x2 + 12x) = (x + 4)(2x2 + 6x)
Cách 2:
2x + 6x
2x(x + 3)
2(x + 3)
X3 + 7x2 + 12x x(x2+7X + 12) x2 + 3x + 4x + 12
2(x + 3)
2(x + 3)
58. a)
2x + 1 2x - 1
2x-l 2x +1 4x2 + 4x + 1 - 4x2 + 4x - 1
x(x + 3) + 4(x + 3) (x + 3)(x + 4) x + 4 4x (2x + l)2 - (2x - l)2 10x-5
10x-5
(2x - l)(2x + 1) 8x.5(2x -1)
(2x - l)(2x + 1) 5(2x -1)
4x
4x
(2x - l)(2x + l).4x
b)
2-x
c)
X3 - X
' X2 + 1 X3 - X
X2 + 1 ' x(x2 - ]
10
2x +1
2|=f
X2 - 2x + 1 1
x-2") 1 + X2 - 2x
^x(x + 1) X + 1 1 + x(x - 2)
x(x + 1) X2 - 2x + 1 (x2 - 2x + l)x _	1
x(x + l)(x2 - 2x + 1) - X + 1
1-x2
1
x-1
1
X —1 "
_JỊ	
X —1 X2 + 1	(x-l)2.(x + l)
1 x(x-l)(x + l) x+l-x + 1
x-1-
1
(x-1)2 (x — l)(x + 1) X + 1 - (x - 1)
X + 1 (x - 1) .(x + 1)
x(x - l)(x + 1).2
(x2 +l)(x-l)2(x + l)
2x
2 + 1 - 2x	(x - l)2
(x2 + l)(x - 1)	(x2 + l)(x-l) X2 + 1
59. a) Với p =
xy
ta CÓ:
x-y
xP yP
X + p y - p
xfy x-y xy
xy x-y xy
X +	y	 -
2 X - y	X - y
X y xy2
= —^-^- = y + x = x + y b) Với P,J^_,Q= 2xy_y
2xy
X2 + y2
V
2xy
\2
2xy.2xy
ta CÓ:
P2Q2
x2-y2J \x2+y2J
(x2 - y2)(x2 + y2)
Q2
2xy V
r 2xy V
lx2-y2J + (4xV)
4	„4
(x -y )
4x2y2	4x2y2
(x2- y2)2 “(x2 + y2)2
4x y [(x + y ) -(x2 -y2)2]
[(x2 - y2)(x2 + y2)]2
(4x2y2)2
4 \2
(x -y )
4x2y2.(x4 + 2x2y2 + y4 - X4 + 2x2y2 - y4)
(x4-y4)2
(4x2y2)2
(4x2y2)2
(x4-y4)2	(x4-y4)2
4x2y2.4x2y2	(4x2y2)2
'■	_	(x4-v4)2	(x4-y4)2
60. a) 2x - 2 = 2(x -1)^0	khi X - 1	0 hay X í 1
X2 - 1 = (x - l)(x + 1)* 0 khi x-HOvàx + 1/ O hay X í 1 và X * -1
2x + 2 = 2(x + 1)	0	khi x + 1 *0 hay X -1
Do đó điều kiện để giá trị của biểu thức được xác định là
X -1, X # 1
Để chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến X ta phải chứng tỏ rằng có thể biến đổi biểu thức này thành một hằng số.
7 x + 1 .	3 x + 3 'Ĩ4x2 -4
Thậtv4y: + 6"
X + 1	3	X + 3 1 4x2 - 4
_2(x-l) (x — l)(x + 1)	2(x + l)j
(x + l)2 + 6 - (x + 3)(x - 1) 4(x - l)(x + 1)
2(x-l)(x + l)	5
X2 + 2x + 1 + 6 - X2 - 2x + 3 4(x - l)(x + 1)
10
4(x-l)(x + l)
2(x-l)(x + l)
_ 10.4.(x-l)(x + l) 2(x - l)(x + 1).5 61. X2 - lOx = x(x - 10)	0
5
10.2
Khi X* 0 và X - 10	0
hay X / 0 và X * 10 Khi x*0vax + 10i0 hay # 0 và X -10
X" + 4 2 4
Vậy điều kiện của biến X để biểu thức đã cho được xác định là X -10, X 0, X * 10
Để việc tính giá trị của biểu thức được đơn giản hơn ta rút gọn biểu thức trước:
X2 + lOx = x(x + 10) * 0
,2 + 4 2 4
5x + 2
5x-2 1 X2 - 100
- lOx X2 + lOx ) X2 + 4
5x + 2
5x - 2
x(x-10) x(x + 10)
(5x + 2)(x +10) + (5x - 2)(x -10) (x - 10)(x + 10) x(x - 10)(x + 10)
5x2 + 52x + 20 + 5x2 - 52x + 20
X2 +4 10x2 + 40
x(x2 + 4)	x(x2 + 4)
X = 20040 thỏa mãn điều kiện của biến. Vậy với X = 20040 biểu thức có giá trị là
X2 -100
X2 + 4
10(x2 + 4) ” x(x2+4) 10 1
10
X
20040	2004
Điều kiện của biến:
X2 - 5x = x(x - 5)	0 khi x^0vàx-5*0
hay X í 0 và X * 5
Do đó điều kiện của biến là X * 0 và X # 5
Rút gọn phân thức:
X2 - lOx + 25 _ (x - 5)2 _ X - 5
X2 - 5x x(x - 5) • X
	 X - 5
Phân thức có giá trị băng 0 khi ——— - 0 .
hay X - 5 = 0 hay X = 5
Nhưng X = 5 không thỏa mãn điều kiện của biến. Vậy không có giá
trị nào của X để giá trị của phân thức bằng 0.
a) Ta có:
3x2 - 4x -17
X + 2
3x2 + 6x
3x - 10
-lOx - 17 "-10x - 20
3
X + 2
Để phân thức là số nguyên thì + 2 phải là số nguyên (với giá trị nguyên của x).
—nguyên thì X + 2 phải là ước của 3.
Các ước của 3 là ±1, ±3. Do đó
X + 2 = ±1 => X = -1, X = -3 x + 2 = ±3=>x=l, X = -5
Vậy X = -5; -3; -1; 1.
Cách khác:
= 3X-10 +
X + 2
rồi tiếp tục làm như trên ta được kết quả.
' X2 - X + 2	_	8
b) Ta có: 	—— = X + 2 +
3x2 - 4x -17 _ (3x2 + 6x) - (ỊQx + 20) + 3 3x(x + 2) -X10(x + 2) + 3
X - 3
, X2 - X + 2	8
Để —	— là nguyên thì	phải nguyên. Suy ra X - 3 là ước của 8.
X - 3	X - 3
Các ước của 8 là ±1, ±2, ±4, ±8 Do đó X - 3 = ±1 =5> X = 4; 2
X - 3 = ±2, => X = 5; 1 X - 3 = ±4 => X = 7; -1 x-3 = ±8=>x = 11; -5
Vậy X = -5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11.
64. Điều kiện của biến xí 0, X í -5.
_	, X2 - lOx + 25 X - 5
Ta có 2— =	
X - 5x	X
vì X = 1,12 thỏa mãn điều kiện của biến nên khi đó giá trị của phân thức đã cho bằng:
= 2^3,464285...
1,12 1,12
Kết quả chính xác đến 0,001 là « -3,464