Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 12. Hình vuông

  • Bài 12. Hình vuông trang 1
  • Bài 12. Hình vuông trang 2
  • Bài 12. Hình vuông trang 3
  • Bài 12. Hình vuông trang 4
  • Bài 12. Hình vuông trang 5
§12. HÌNH VUÔNG
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Định nghĩa
Hình vuông là tứ giác có bôn góc vuông và có bôn cạnh bằng nhau. Suy ra:
Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
Hình vuông là hình thoi có bôn góc vuông.
Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
Tính châ't
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Dâ'u hiệu nhận biê't
1) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
21 Hì nh chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. 8/ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc
là hình vuông.
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của CB lấy điểm E, trên tia đối của DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex // AF, qua F kẻ Fy // AE. Gọi p là giao điểm của Ex và Fy. Chứng minh rằng AEPF là hình vuông.
Giải
Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có:
AB = AD (cạnh của hình vuông ABCD)
BE = DF (giả thiết)
=> AABE = AADF (hai cạnh góc vuông bằng nhau)
_ Ai - A3 và AE - AF (1)
lại có Ai + A2 = lv => A3 + A2 = lv (2)
Mặt khac do EP // AF; FP // AE => AEPF là hình bình hành.	(3)
Từ (1), (2) và (3) => AEPF là hình vuông.
Bài tập cơ bản
a) Một hình vuông có cạnh bằng 3cm. Đường chéo của hình vuông
đó bằng: 6cm, VĨ8cm, 5cm hay 4cm?
Đường chéo của một hình vuông bằng 2dm. Cạnh của hình vuông
đó bằng: ldm,j|dm, \'2dm hay gdm?
Hay chỉ rõ tâm đôi xứng của hình vuông, các trục đối xứng của hình vuông.
Cho hình 106. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
giác EFGH là hình vuông.
Giải
a) Gọi đường chéo của hình vuông có độ dài là a. Ta có: a2 = 32 + 32 = 18 Suy ra a = ỰĨ8
Vậy đường chéo của hình vuông đó bằng 3^2 •
Gọi cạnh của hình vuông là a.
Ta có a2 + a2 + 22 => 2a2' = 4=>a2=2=>a = V2 Vậy cạnh của hình vuông đó bằng Ự2 .
• Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau. Mà hình chữ
nhật có tâm đôi xứng là giao điểm của hai đường chéo, nên hình vuông có tâm đôi xứng là giao điểm của hai đường chéo.
• Hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối của hình chữ nhật là hai trục đối xứng của hình. Mà hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau nên hai đường trung bình của hình vuông là hai trục đối xứng của nó.
Mặt khác, hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình mà hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông nên hai đường chéo của hình vuông là hai trục đối xứng của nó.
Vậy hình vuông có bốn trục đối xứng đó là hai đường chéo và hai đường trung bình của hình vuông.
Tứ giác AEDF là hình vuông.
Giải thích:
Tứ giác AEDF có EA // DF (cùng vuông góc AF)
DE // FA (cùng vuông góc AE)
nên AEDF là hình bình hành (theo định nghĩa)
Hình bình hành AEDF có đường chéo AD là phân giác của góc A nên
là hình thoi.	_
Hình thoi AEDF có A = 90° nên là hình vuông.
Các tam giác vuông AEH, BFC, CGF, DHG có:
AE = BF = CG = DH (gt)
Suy ra AH = BE = CF = DG
Nên AAEH = ABFE = ACGF = ADHG (c.g.c)
Do đó HE = EF = FG = GH	(1)
và EHA = FEB	 	 	
Ta có HEF = 180° - (HEA + FEB) = 180° - (HEA + EHA)
= 180°- 90° = 90°	(2)
Từ (1) và (2) ta được EFGH là hình vuông..
Sài tập tưõng tự
Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA đặt các đoạn thẳng bằng nhau AA’ = BB’ = CC’ = DD’.
Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông.
Cho hình thoi ABCD. Gọi o là giao điểm của AC và BD. Trên AC lấy hai điểm E, F đối xứng nhau qua o và OE = OB. Chứng minh BEDF là hình vuông.
LUYỆN TẬP
Các câu sau đúng hay sai?
Tứ giác có hai đường chéo vuông, góc với nhau là hình thoi.
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
Hình thoi là tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau.
Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và c. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và- AB theo thứ tự ở E và F.
Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi?
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì? Điếm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông?
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?
Đố. Lấy một tờ giấy gấp làm tư rồi cắt chéo theo nhát cắt AB (h.108). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác nhận được là hình gì? Vì sao?
Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì?
Giải
Các câu a và d sai.
Các câu b, c, e đúng.
a) Tứ giác AEDF là hình bình hành.
Vì có DE // AF, DF // AE (gt)
(theo định nghĩa)
Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A. Vậy nếu D là giao
điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.
Nếu AABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì là hình bình hành có một góc vuông).
Nếu ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác của góc A với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).
a) Tứ giác ADFE là hình vuông.
Giải thích:
Tứ giác ADFE có AE // DF, AE = DF nên là hình bình hành.
Hình bình hành ADFE có A = 90° nên là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật ADFE có AE = AD nên là hình vuông, b) Tứ giác EMFN là hình vuông.
Giải thích:
Tứ giác DEBF có EB // DF, EB = DF nên là hình bình hành.
Do đó DE //BF Tương tự AF //EC Suy ra EMFN là hình bình hành.
Theo câu a, ADFE là hình vuông nên ME = MF, ME ± MF.
Ullin hình hành EMFN có M - 90° nên là hình chữ nhật, lại có ME
- ME nên là hình vuông.
Tứ giác nhận được theo nhát cắt AB là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điếm cúa mỗi đường và vuông góc với nhau.
Nếu có thêm ÔA - OB thì hình thoi nhận được có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.