Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 5. Phép cộng các phân thức đại số

§5. PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI số
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Cộng hai phân thức cùng mẫu thức
Qui tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức.
A c A + C
2. Cộng phân thức có mẫu thức khác nhau
Qui tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta qui đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Ả c AD CB AD + BC
B + D BD + DB
BD
3. Chú ỷ: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chát sau: À c	c A
1. Giao hoán: 77 + 77 = — + 77 r> JJ u JD
c EA D + F
~	. fA CỴ
2. Kết hợp: I J3 + £) 1'
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
Cộng các phân thức sau:
Y3	V2	1
a)
x + 1	x-1 x + 1	1 -X
M *2y2 . Ix‘
b)ív +
a2)(y2 - a2) + (x2 - b2)(y2 - b2)
a(a2 - b2)
1
a)
x + 1 X-1 x + 1	1 - X
b(b2 -a2)
Giải
3 , 1
+
^x + 1
X3 + 1 . x +
X + 1 X - 1 = x2-x+l+x+l = X2 + 2
x2y2 (x2 - a2)(y2 - a2)	(x2 - b2)(y2 - b2)
) a2b2 +	a(a2-b2)	b(b2-a2)
x2y2(a2 - b2) + b2(x2 - a2)(y2 - a2) - a2(x2 - b2)(y2 - b2)
a2b2(a2-b2)
a2b2(a2 -b2)
a2b2(a2-b2)
2. Bài tập cữ bản
21. Thực hiện các phép tính sau: 3x - 5 4x + 5
a) ~”	+ 7o
18 x + 2
c)
X+1
b)
5xy - 4y + 3xy + 4y
2x2y3
2x2y3
, X - 5 X — 5, X- 5 o 22. Ap dụng qui tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi làm
tính cộng phân thức:
9	-	~
a)
2x - X X + 1	2
+
1 1.
A — X i — A X — 1
23. Làm các phép tính sau: y	4x
b)
4-x
■ 4x
a)
b)
c)
d)
2x2
1
X + 2
1
H	7
■xy „y
-2xy + ■
X -14
41 (x + 4x + 4)(x - 2)
X + 2 (x + 2)(4x + 7)
1 1 + 	—	+ ■
IUU!
x + 3 (x + 3)(xn+ 2ị (x + 2)(4x + 7)
24. Một con mèo đuổi bắt một con chuột.
Lần đầu mèo chạy với vận tốc X m/s.
Chạy được 3m thì mèo bắt được chuột.
Mèo vờn chuột 40 giây rồi thả cho chuột
chạy. Sau đó 15 giây mèo lại đuổi bắt,
nhưng với vận tóc nhỏ hơn vận tốc lần
đầu là 0,5m/s. Chạy được 5m mèo lại bắt
được chuột. Lần này thì mèo cắn chết chuột. Cuộc săn đuổi kết thúc.
Hãy biểu diễn qua x:
Thời gian lần thứ nhất mèo đuổi bắt được chuột.
Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt được chuột.
Thời gian kể từ đầu đến khi kết thúc cuộc săn.
Giải
3x - 5 + 4x + 5 _ 7x _
7	.	7	’ J7 =„T
21. a)
b)
5xỹ - 4y + 3xy + 4y _ 5xy - 4y + 3xy + 4y 8xy 4
c)
2x y	2x y3
X + 1	x-18 X + 2
+ ——— +
x-5
22. a)
2x2 - X . X + 1	2
X-1	—
2x2
X2
2x2y3 X + 1 + X-18 + X + 2
2..3
2x y
xy
	 £)
3x-15	3(x-5) o
— O
X - 5
-(x + 1) . 2 +
X-5 2x2 - X
1 - X X - 1 X X -X - 1	2 - X2
x-1
-1	-(x-1) X —1
2x2 - X- X-1 + 2-X2
x-1
= ——y—7+-—7 = —-7—7+——7^—7 x(2x - y) y(2x - y) xy(2x - y) xy(2x - y) y2-4x2 _ (y - 2x)(y + 2x) _-(2x - y)(y + 2x)
xy(2x-y) xy(2x-y)	xy(2x-y)
= ~(2x + y) xy
1	4	x-14
X + 2 X2 -4	(x2 + 4x + 4)(x - 2)
1	“	3	X -14
- x + 2_+(x-2)(x + 2) + (x + 2)2(x-2)	-
(x + 2)(x-2) Í 3(x + 2)	*	x-14
" (x + 2)2(x - 2) + (x + 2)2(x - 2) + (x + 2)2(x - 2)
X2 - 4 + 3x + 6 + X -14 _ X2 + 4x - 12
" . (x + 2)2(x-2)	- (x + 2)2(x-2)
_ X2 - 2x + 6x - 12 _ x(x - 2) + 6(x - 2)
>-<(Ỉ6-,2L x4x+2)2(x	2)
= (xf2)*(x-2)x(x+2)^	4x+7	1	x
X + 2 + (x + 2)(4x+ 7) (x + 2)(4x + 7) + (x + 2)(4x + 7)
4x + 8	4(x + 2)	4
(x + 2)(4x + 7) (x + 2)(4x + 7) 4x + 7 1	4	,	1
X + 3 + (x + 3)(x + 2) + (x + 2)(4x + 7)
x+2	'	1	'	1
(x + 3)(x + 2) (x + 3)(x + 2) (x + 2)(4x + 7)
_	x+3	1	=	1	*	1
(x + 3)(x + 2) (x + 2)(4x + 7) x + 2 (x + 2)(4x + 7)
_ 4x + 7	1	J 4x + 8
" (x +/2)(4x + 7) (x + 2)(4x + 7) _ (x + 2)(4x + 7)
4(x + 2)	4
” (x + 2)(4x + 7) - 4x + 7	3
- Thời gian lần thứ nhất mèo đuổi bắt được chuột -7 (giây)
,	x 5
Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt được chuột X_Q 5 (giây)
Thời gian kể từ đầu đến khi kết thúc cuộc săn: ỵ + 40 + 15 +	(giây)
3	5
hay - + 55 + —“7 (giây)
3. Bài tập tương tự
Thực hiện phép tính:
3	, 5x ,	7
a) .o..2_ + c	2
4xy 8y z 6yz
X - 0,5
b)
2x
8x2
x-2y
LUYỆN TẬP
2y - X 4xy2 - X3
25. Làm tính công các phân thức sau: 5.	3 x
a) —-íé- + ——^- +
2x y 3x + 5
c) -2	
X
5xỵ2 r 25 - X
+
e)
- 5x 25 - 5x 4x2 - 3x + 17 2x - 1
b)
d)
X + 1 2x + 3
2x + 6, x(x + 3)
X* +1 1 — X2
x?-l z x\+x + l 1 - X 26. Một đội máy xúc trên công trường đường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc 11600m3 đất. Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng súất trung bình X m3/ngày và đội đào
+ 1
Hãy biểu diễn:
Thời gian xúc 5000m3 đầu tiên;
Thời gian làm nốt phần việc còn lại;
Thời gian làm việc để hoàn thành công việc.
Tính thời gian làm việc để hoàn thành công việc với X = 250m3/ngày. 27. Đố. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
X2 . 2(x-5) ■ 50 + 5x
	 -Ị- 	 	
5x + 25 X x(x + 5)
tại X = -4.
Nếu coi tử số của phân số tối giản mà em tìm được là ngày còn mẫu số là tháng thì đó chính là một ngày lễ trên thế giới. Đố" em biết đó là ngày gì?
Giải
5	3	X	_	5.5y2	3.2xy	x.lOx2
25' a) 2x2y	5xy2	y3 2x2y.5y2	5xy2.2xy	y3.10x2
25y2 6xy 10x3	25y2 + ốxy + 10x3
b)
10x2y3 x + 1
10x2y3 2x + 3
10x2y3 X + 1
10x2y3 2x + 3
2x + 6 x(x + 1)
x(x + 3)	2(x + 3) x(x + 3)
2(2x + 3) _ X2 + X + 4x + 6
2x(x + 3) 2x(x + 3) 2x(x + 3)
X2 4- 5x 4- 6 _ X2 4- 2x 4- 3x 4- 6 _ x(x 4- 2) 4- 3(x + 2)
2x(x 4- 3)	2x(x 4- 3)	2x(x 4-3)
3x4-5 . 25 - X _ 3x4-5 X - 25
X2 - 5x 25 - 5x X2 - 5x 5x - 25 3x 4- 5 X - 25 _ 5(3x 4-5) x(x - 25)
_ x(x - 5)	5(x-5)	5x(x-5)	5x(x-5)
_ 15x 4- 25 4- X2 - 25x _ X2 - lOx + 25
5x(x - 5)	5x(x-5)
(x - 5)2 X - 5
5x(x - 5) 5x
2 , X<1 + 1 , 1 _ -1 , „2 , X4 + 1
X + —	J- + 1 — 1 + X2 + —	jj-
(1 4-X2)CL - X2) X4 4-1 _ 1 - X4 4-X4 4- 1 _	2
1-x2	_	1- x2	1-x2	1-x2
x	4x2 -3x + 17	,	2x -l	,	6
	-3	-	H	2	+ 	—
X -1	x +x + 1	1 — X
4x2 - 3x 4-17 2x -1	-6
(x — l)(x2 4-X 4-1) X2 4-X 4-1	x-1
4x2 - 3x + 17	(2x - l)(x - 1)	-6(x2 + X + 1)
(x - l)(x2 4-X 4-1) (x — l)(x2 4-X 4-1) (x - l)(x2 4-X 4-1) _ 4x2 - 3x + 17 4- (2x - l)(x - 1) - 6(x2 + X + 1)
(x - l)(x2 + X 4-1)
4x2 - 3x 4-17 4- 2x2 - 3x 4-1 - 6x2 - 6x - 6
(x - l)(x2 + X + 1)
-12x4-12	-12(x-l)	-12
(x - l)(x2 + X + 1) (x - l)(x2 4- X 4- 1)	X2 + X + 1
	' z	; .7	7 5000 z “
26. Thời gian xúc 5000m3 đâu tiên là —-— (ngày)
Phần việc còn lại là: 11600 - 5000 = 6600(m3)
Năng suất làm việc ở phần việc còn lại: X + 25 (m3)
7'7 . 7.	3. , , 7 \ . 6600
Thời gian làm nốt phân việc còn lại:	(ngày)
.	' x+ò 5000	6600 ,	. ,
Thời gian làm việc đê hoàn thành công việc: ——— +	(ngay)
m z 5000. 6600	5000(x 4-25) 4-6600x	11600x4-125000
Ta có	4- ——— -	4—	=	'	<	
X X 4- 25	x(x 4- 25)	x(x 4- 25)
„ “ ,	-	5000 ,	6600	_ __ , 6600 _ on , _ .	, . ,	. ,
275
với X = 250, ta được:	= 20 4- -777 = 20 4- 24 = 44 (ngày)
250	250 4-25
2(x-5) . 50 4-5x
5x 4- 25 X x(x 4- 5) X2	2(x - 5)	50 4- 5x
5(x 4- 5)
—	- 	7	r-'T
X x(x 4- 5)
2(x - 5).5(x 4- 5) + 5(50 4-5x)
5x(x 4- 5)
5x(x 4- 5)
X3
X3 + 10(x2 -25) + 250 + 25x
5x(x + 5)
X3'+' 10x2 + 25x _ x(x2 + lOx + 25)
5x(x9+ 5)	- 5x(x + 5)
x(x + 5)2' X + 5
-4 + 5
5x(x + 5)	5
Với X = -4 giá trị của phân thức rút gọn bằng ——— - Ta được ngày 1 tháng 5. Đó là ngày Quốc tế Lao động.