Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

§9. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BANG CÁCH
PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Phương pháp: Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét đế yận dụng các phương pháp đã biết: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng đế’ phân tích đa thức thành nhân tử.
Chú ỷ: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc đế đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Phân tích thành nhân tử:
a) X2 + y2 + 2xy - xz - yz	b) 4x4 - X3 + 4x2 - X
X2 + 7x + 12
Giải
X2 + y2 + 2xy - xz - yz = (x2 + 2xy + y2) - (xz + yz)
= (x + y)2 - z(x + y) = (x + y)(x + y - z)
4x4 - X3 + 4x2 - X = x(4x3 - X2 + 4x - 1)
= x[(4x3 - X2) + (4x - 1)1 = x[x2(4x - 1) + (4x - 1)1 = x(4x - l)(x2 + 1)
x2 + 7x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12)
= x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)
Tìm X, biết: (2x - l)2 - (x + 3)2 = 0
Giải
(2x - l)2 - (x + 3)2 = 0 [(2x - 1) - (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)1
X — 4 — 0
co I to
« (x-4)(3x + 2) = 0 ~	.	~ 
2	L3x + 2 = 0
Vậy:x = 4;x = -|
Bài tập cơ bản
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) X3 - 2x2 + X	b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
2xy - X2 - y2 + 16
Chứng minh rằng (5n + 2)2 - 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
X2 - 3x + 2
(Gọi ý: Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử -3x = -X - 2x thì ta có X2 - 3x + 2 = X2 - X - 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.
Cũng có thế tách 2 - -4 + 6, khi đó ta có X2 - 3x + 2 = X2 - 4 - 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)
X2 + X - 6
X2 + 5x + 6
Giải
a) X3 - 2x2 + X = x(x2 - 2x + 1) = x(x - l)2
2x2 + 4x + 2 - 2y2 = 2[(x2 + 2x + 1) - y2]
= 2[(x + l)2 - y2] = 2(x + 1 - y)(x + 1 + y)
2xy - X2 - y2 + 16 = 16 - (x2 - 2xy + y2)
= 42 - (x - y)2 = (4 - X + y)(4 + X - y)
Ta có: (5n + 2)2 - 4 = (5n + 2)2 - 22
= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)
= 5n(5n + 4)
Vì 5:5 nên 5n(5n + 4): 5 Vn e z.
Vậy (5n + 2)2 - 4 luôn chia hết cho 5 với n G z.
a) X2 - 3x + 2 = X2 - X - 2x + 2
= x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - l)(x - 2)
Hoặc X2 - 3x + 2 = X2 - 3x - 4 + 6 = X2 - 4 - 3x + 6 = (x2 - 22) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x + 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x + 2 - 3) = (x - 2)(x - 1)
X2 + X - 6 - X2 + 3x - 2x - 6
= x(x + 3) - 2(x + 3)
= (x + 3)(x - 2)
X2 + 5x + 6 = X2 + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)
Bài tập tương tự
Phân tích thành nhân tử:
X2 - xy - 5x + 5y	b) 4x2 + 8xy - 3x - 6y
2x2 + 2y2 - X2Z + z - y2z - 2	d) x3 - 2x2 - 3x
b) 2x(x - 3) + 5(3 - x) = 0
Tim x:
6x2 - 12x = 0
LUYỆN TẬP
54) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
b) 2x - 2y - X2 + 2xy - y2
a) X3 + 2x2y + xy2 - 9x
X4 - 2x2
b) (2x - l)2 — (x + 3)2 = 0
Tìm X, biết: a) X3 -ìx = 0
x2(x -3) + 12 - 4x = 0
Tính nhanh giá trị của đa thức:
.2.11,.'
x + 2	+ 16 tại x = 49,75
X2 - y2 - 2y - 1 tại X = 93 và y - 6
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
X2 - 4x + 3	b) X2 + 5x + 4
X2 - X - 6	d) X4 + 4
(Gợi ý câu d): Thêm và bớt 4x2 vào đa thức đã cho)
Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Giải
a) X3 + 2x2y + xy2 - 9x = x(x2 + 2xy + y2 - 9)
= x[(x2 + 2xy + y2) - 9]
= x[(x + y)2 - 32]
= x(x + y - 3)(x + y + 3)
2x - 2y - X2 + 2xy - y2 = (2x - 2y) - (x2 - 2xy + y2)
= 2(x - y) - (x - y)2 = (x - y)[2 - (x - y)]
= (x - yK2 - X + y)
X4 - 2x2 = x2(x2 - 2) = x2(x2 - (V2)2) = x2(x - V2)(x + V2)
l'	z 2 A	.	‘ '
, 1 .
a) X -yX = 0 => X X
ZZ-
Hoặc X = 0
Hoặc x--r = 0=>x = 4 2 2
Hoặc x + 4 = 0=>x = -4 '2,2
1 1
Vậy X = 0; x = -ị;x - 2
b) (2x - l)2 - (x + 3)2 = 0
[(2x - 1) - (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = 0 (2x - 1 - X - 3)(2x - l+ x + 3) = 0 (x - 4)(3x + 2) = 0
Hoặc x-4 = 0=>x = 4
2
Hoặc 3x + 2 = 0 => 3x = -2 => X = -
L ...	2	3
Vậyx = 4; x= 3
x2(x - 3) + 12 - 4x = 0
x2(x - 3) - 4(x - 3) = 0 (x - 3)(x2 - 4) = 0 (X - 3)(x2 - 22) = 0 (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0
Hoặc x-3 = 0=>x = 3
Hoậc x-2 = 0=>x = 2
Hoặc x + 2 = 0=>x = -2
Vậy X = 3; X = 2; X = -2 . .2 . 1 . 1
a) x+OX + 7T với X = 49,75
m , lj6l , v 1 , flf ( , lý 2 X 16	2	4	l 4 J
Với X = 49,75: 49,75 + i = (49,75 + 0,25)2 = 502 -2500
X2 - y2 - 2y - 1 với X = 93; y = 6
Ta có X2 - y2 - 2y -1 = X2 - (y2 + 2y + 1)
= X2 - (y + I)2 = (x - y - l)(x + y + 1)
với X = 93, y = 6: (93 - 6 - 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600
a) X2 - 4x + 3 = X2 - X - 3x + 3
= x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - l)(x - 3)
X2 + 5x + 4 - X2 + X + 4x + 4
= .x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + l)(x + 4)
X2 - X - 6 = X2 + 2x - 3x - 6
= x(x + 2) - 3(x + 2) = (x - 3)(x + 2)
X4 + 4 = X4 + 4x2 + 4 - ,4x2
= (x2 + 2)2 - (2x)2 = (x2 + 2 - 2x)(x2 + 2 + 2x)
Ta có: n3 - n = n(n2 - 1) = n(n - l)(n + 1)
với n e z là tích của ba sô nguyên liên tiếp. Do đó nó chia hết cho 3 và 2 mà 2 và 3 là hai sô' nguyên tô' cùng nhau nên n3 - n chia hết cho 2, 3 hay chia hết cho 6.