Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 10. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

§10. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT
ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song n A Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng a
song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên	h
đường thẳng này đến đường thẳng kia.
h là khoảng cách giữa hai đường thẳng song b—n	
2. Tính châ't của các điểm cách đểu một đường thẳng cho trước
Tính chất: Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.
3. Đường thẳng song song cách đều
song a và b.	H
a-A--	 M
h
h
1:
H
J
K
J
h
A’	M’
Định lí:
Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyên trên đường nào?
Giải
Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC theo thứ tự ở p và Q. AAMB có AI = IM, IP // BM nên p là trung điểm của AB. Chứng minh tương tự, Q là trung điếm của AC.
(Các điểm p và Q cô định, vậy điểm I di chuyến trên đoạn thẳng PQ
đến d
(P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC).
Sài tập cơ bản
Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kì. Trên tia Ax lấy các điểm c, D, E sao cho AC =
CD = DE (h.97). Kẻ đoạn thẳng EB. Qua c,
D kẻ các đường thẳng song song với EB.
Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra
68.
ba phần bằng nhau.	Hình 97
69.
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách bằng 2cm. Lấy điếm B bất kì thuộc đường thẳng d. Gọi c là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B. Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm c di chuyển trên đường nào?
Ghép mỗi ý (1), (2), (3), (4) với một trong các ý (5), (6),-(7), (8) để được một khẳng định đúng.
là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng 3cm.
là đường tròn tâm A bán kính 3cm.
là tia phân giác của góc xOy.
Tập hợp các điểm cách điểm A cố định một khoảng 3cm.
Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB cố định
Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc đó
Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng 3cm
Giải
Ta có: EB // DD’ // CC’ và AC = CD = DE.
Nên theo định lí về các đường thẳng song song cách đều ta suy ra AC’ = C’D’ = D’B
Vậy đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau.
y
h^x
H
hx
o
c m
Kẻ AH và CK vuông góc với d Ta có AB = CB (gt)
ABH = CBK (đối đỉnh) nên AAHB = ACKB (cạnh huyềrí - góc nhọn)
Điểm c cách đường thẳng d cố định một khoảng cách không đổi 2cm nên c di chuyển trên đường thẳng m song song với d và cách d một khoảng bằng 2cm.
69. Ghép các ý: (1) với (7)
với (5)
với (8)
với (6)
3. Bài tập tương tự
1. Cho goc vuông xOy, điểm A trên Oy. Điểm B di chuyến trên tia Ox. Gọi c là diem đối xứng với A qua B. Điểm c di chuyển trên đường nao?
Suy ra CK = AH = 2cm
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước.
LUYỆN TẬP
Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm. Lấy B là một điểm bất kì thuộc tia Ox. Gọi c là trung điểm của AB. Khi điếm B di chuyến trên tia Ox thì điểm c di chuyến trên đường nào?
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, o là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng ba điểm A, o, M thẳng hàng.
Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm o di chuyển trên đường nào?
Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất?
Đố. Đế vạch một đường thẳng song
song với mép gỗ AB và cách mép gỗ 10cm, bác thợ mộc đặt đoạn bút chì CD dài 10cm vuông góc với ngón táy trỏ lấy làm cữ (h.98), rồi đưa ngón trỏ chạy dọc theo mép gỗ AB. Căn cứ vào kiến thức nào mà ta kết luận được rằng đầu chì c vạch nên đường thẳng song song vái AB và cách AB là 10cm?
Giải
Cách 1:
Kẻ CH 1 Ox.
Ta có CB = CA (gt)
CH // AO (cùng vuông góc Ox)
Suy ra CH = — AO = —.2 = 1 (cm)
Điểm c cách tia Ox cố định một khoảng không đỗi lcm nên c di chuyển trên tia Em song song với Ox và cách Ox một khoảng bằng lcm.
Cách 2:
Vì c là trung điểm của AB nên oc là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB do đó co = CA.
Điểm c di chuyển trenjda Em thuộc đường trung trực của OA.
a) Tứ giác ADME có A = D = Ê = 90° nên ADME là hình chữ nhật, o là trung điểm của đường chéo DE nên o
cũng là trung điểm của đường chéo AM.
Vậy A, o, M thẳng hàng, b) Kẻ AH L BC. Tương tự như bài 70 ta có
hai cách chứng minh như sau:
Cách 1:
Kẻ OK _L BC. Ta có OA = OM, OK // AH (cùng vuông góc BC). SuyraOK = jAH
■£ Điểm o cách đoạn thẳng BC cố định một khoảng không đổi bằng
^AH. Mặt khác khi M trùng c thì o chính là trung điểm của AC, khi £
M trùng B thì o chính là trung điểm của AB. Vậy o di chuyến trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác ABC.
Cách 2:
Vì o là trung điếm của AM nên HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.
Do đó OA = OH. Suy ra điếm o di
chuyển trên đường trung trực của AH. Mặt A khác vì M di chuyển trên cạnh BC nên 0 chỉ di chuyến trên đoạn PQ. Vậy điểm 0 di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ABC.
Căn cứ vào tính chất đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước ta kết luận được là vì điểm c cách mép gỗ AB một khoảng không đổi bằng 10cm nên khi tay di chuyến hình đầu bút chì c vạch nên đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 10cm.