Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 5. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

§5. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TSẾP THEO)
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Tổng hai lập phương
A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2)
Hiệu hai lập phương
Ạ3 - B3 = (A - B) (A2 + AB + B2) J
Ta có bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6 A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B) (A2 + AB + B2)
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Viết dưới dạng tích: 8x3 + 27; 64 - 125y3
Viết dưới dạng tống:
(3x - 2y)(9x2 + 6xy + 4y2); (2x + 5)(4x2 - lOx + 25)
Giai
8x3 + 27 = (2x)3 + 33 = (2x + 3)[(2x)2 - 2x.3 + 32l
= (2x + 3)(4x2 - 6x + 9)
64 - 125y3 = 43 - (5y)3 = (4 - 5y)[42 + 20y + (5y)2]
= (4 - 5y)(16 + 20y + 25y2)
(3x - 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) = (3x - 2y)[(3x)2 + 3x.2y + (2y)2]
= (3x)3 - (2y)3 = 27x3 - 8y3 (2x + 5)(4x2 - lOx + 25) = (2x + 5)[(2x)2 - 2x.5 + 52]
= (2x)3 + 53 = 8x3 + 125
Bài tập cơ bản
Rút gọn các biểu thức sáu:
(x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 + X3)
(2x + y)(4x2 - 2xy + y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)
Chứng minh rằng:
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) b) a3 - b3 - (a - b)3 + 3ab(a - b) Áp dụng: Tính a3 + b3, biết a.b = 6 và a + b = -5
Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:
(3x + y)(Q- □ + □) = 27x3 + y3
(2x - □)(□ + lOx + □) = 8x3 - 125
Giải
a) (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 + X3) = (x + 3)(x2 - 3.X + 32) - (54 + X3)
< = X3 + 33 - (54 + X3)
= X3 + 27 - 54 - X3 = -27
b) (2x + y)(4x2 - 2xy + y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)
= (2x + y)[(2x)2 - 2x.y + y2] - (2x - y)[(2x)2 + 2x.y + y2]
= [(2x)3 + y3] - [(2x)3 - y3]
= (2x)3 + y3 - (2x)3 + y3 =.2y3
a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
Thực hiện vế phải:
(a + b)3 - 3ab(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - 3a2b - 3ab2 = a3 + b3
Vậy a3 + b3 - (a + b)3 - 3ab(a + b) b) a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
Thực hiện vế phải:
(a - b)3 + 3ab(a - b) = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 - b3
Vậy a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b).
Áp dụng:
Với ab = 6, a + b = -5, ta được:
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) = (-5)3 - 3.6.(-5)
(x - y)(x2 + xy + y2)
X3 + y3
(x + y)(x - y)
3	3
X -y
X2 - 2xy + y2
X2 + 2xy + y2
(X + y)2
x2-y2	.
(x + y)(x2 - xy + y2)
(y - X)2
y3 + 3xy2 + 3x2y + X3
X3 - 3x2y + 3xy2 - y3
(X - y)3
(X + y)3
= -53 + 3.6.5 = -125 + 90 - -35
32. a) Ta có:
27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)[(3x)'
= (3x + y)(9x2 - 3xy + ỳ2)
) =, 27x3 + y2
3x.y + y2]
b) Ta CÓ:
Nên: (3x + y)( 9x2 8x3
3xy +
Nên: (2x - 5 )(
125 = (2x)3 - 53
= (2x - 5)[(2x)2 + 2x.5 + 52] 5)(4x2 + lOx + 25)
)= 8x3- 125
4x2
= (2x - + lOx +
25
3. Bài tập tương tự:
Tính (x + yj3 - (x - y)3; (x - y)3 + (x + y)3
Chứng minh đẳng thức:
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
Tính:
a) (2 + xy)2
(5 - x2)(5 + X2)
e) (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)
Rút gọn các biếu thức sau:
(a + b)2 - (a - b)2
(x + y + z)2 - 2(x + y + z)(x +
Tính nhanh:
LUYỆN TẬP
(5 - 3x)2
(5x - l)3 0 (x + 3)(x2 - 3x + 9)
(a + b)3 - (a - b)3 - 2b3 + (x + y)2
a) 342 + 662 + 68.66
b) 742 + 242 - 48.74
Tính giá trị của biếu thức:
a) X2 + 4x + 4 tại X = 98	b) X3 + 3x2 + 3x + 1 tại x = 99
Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức (theo mẫu):
Chứng minh các đẳng thức sau:
(a - b)3 = -(b - a)3	b) (-a - b)2 = (a + b)2
Giải
a) (2 + xy)2 = 22 + 2.2.xy + (xy)2 = 4 + 4xy + x2y2
(5 - 3x)2 = 52 - 2.5.3X + (3x)2 = 25 - 30x + 9x2
(5 - x2)(5 + X2) = 52 - (x2)2 = 25 - X4
(5x - í)3 = (5x)3 - 3.(5x)2.l + 3.5X.12 - l3 = 125x3 - 75x2 + 15x - 1
(2x - y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x - y)[(2x)2 + 2x.y + y2]
= (2x)3 - y3 = 8x3 - y3
(x + 3)(x2 - 3x + 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 32) = X3 + 33 = X3 + 27
a) (a + b)2 - (a - b)2 = (a2 + 2ab + b2) - (a2 - 2ab + b2)
= a2 + 2abo+ b2 - a2 + 2ab - b2 = 4ab Hoặc (a + b)2 - (a - b)2 = [(a + b) + (a - b)][(a + b) - (a - b)]
= (a + b + a - b)(a + b - a + b)
= 2a.2b = 4ab
(a + b)3 - (a - b)3 - 2b3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) - (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) - 2b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 + 3a2b - 3ab2 + b3 - 2b3 = 6a2b
Hoặc (a + b)3 - (a - b)3 - 2b3 = [(a + b)3 - (a - b)3] - 2b3 = [(a + b) - (a - b)][(a + b)2 + (a + b)(a - b) + (a - b)2] - 2b3 = (a + b - a + b)(a2 + 2ab + b2 + a2 - b2 + a2 - 2ab + b2) - 2b3 = 2b.(3a2 + b2) - 2b3 = 6a2b + 2b3 - 2b3 = 6a2b
(x + y + z)2 - 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2
= x2 4-y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2yz + 2xz-2(x2 +xy + yx + y2 + zx + zy) + X2 + 2xy 4-y2 = 2x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2yz + 2xz - 2x2 - 4xy - 2y2 - 2xz - 2yz = z2
a) 342 + 662 + 68.66 = 342 + 2.34.66 + 662
= (34 + 66)2 = 1002 = 10000
742 + 242 - 48.74 = 742 - 2.74.24 + 242
= (74 - 24)2 = 502 = 2500
a) X2 + 4x + 4 = X2 + 2.X.2 + 22 = (x + 2)2 Với X = 98: (98 + 2)2 = 1002 = 10000
b) X3 + 3x2 + 3x + 1 = X3 + 3.x2.1 + 3.X.12 + l3 = (x + l)3 Với X = 99:(99 + l)3 = 1003 = 1000000
(x - y)(x2 + xy + y2)
Xs + y3
(x + y)(x - y)
X3 -y3
X2 - 2xy + y2
X2 + 2xy + y2
(x + y)2
x2-y2
(x + y)(x2 - xy + y2)
(y - X)2
y3 + 3xy2 + 3x2y + X3
X3 - 3x2y + 3xỵ2 - y3
(X - y)3
(x + y)3
38
(a - b)3 = (b - a)3 • Biến đổi vế phải thành vế trái:
-(b - a)3 = -(b3 - 3b2a + 3ba2 - a3)
- —b3 + 3b2a - 3ba2 + a3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
• Sử dụng tính chát hai sô' đôi nhau:
(a - b)3 = [(-l)(b - a)]3 = (-l)3(b - a)3
= -l3.(b - a)3 = -(b - a)3
(-a - b)2 = (a + b)2
Biến đổi vế trái thành vế phải:
(-a - b)2 = [(-a) + (-b)]2
= (-a)2 + 2.(-a).(-b) + (-b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Sử dụng tính chát hai sô" đôi nhau:
(-a - b)2 = [(-l).(a + b)]2 = (-l)2.(a + b)2
= l.(a + b)2 - (a + b)2