Giải bài tập Toán 8 §1. Tứ giác
PHAN ÍIIMI HOC Chương I. TỨ GIÁC §1. TỨ GIÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT D D a) c D c) ?2 b) Hướng dẫn Trên hình vẽ, chỉ có tứ giác ở hình a) là luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. Quan sát tứ giác ABCD ở hình bên rồi điền vào chỗ trông : Hai đỉnh kề nhau : A và B, ... Hai đỉnh đốì nhau : A và c, ... Đường chéo (đoạn thẳng nô'i hai đỉnh đốì nhau) : AC, ... Hai cạnh kề nhau : AB và BC, ... Hai cạnh đỗì nhau : AB và CD, ... Góc : A, ... Hai góc đốì nhau : A và c , ... Điểm nằm trong tứ giác (điếm trong của tứ giác) : M, ... Điểm nằm ngoài tứ giác (điểm ngoài của tứ giác) : N, ... Hưởng dẫn Hai đỉnh kề nhau : A và B, B và c, c và D, D và A. Hai đỉnh đổì nhau : A và c, B và D. b) Đường chéo (đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau) : AC, BD. c) d) e) a) Hai cạnh kề nhau : AB và BC, BC và CD, CD và DA, DA và AB. Hai cạnh đô'i nhau : AB và CD, BC và AD. Góc : Â, B, C, ĩ). Hai góc đối nhau :  và c, B và D. Điểm nằm trong tứ giác (điểm trong của tứ giác) : M, p. Điểm nằm ngoài tứ giác (điểm ngoài của tứ giác) : N, Q. ?3 a) Nhắc lại về định lí về tổng ba góc của một tam giác. Vẽ tứ giác ABCD tùy ý. Dựa vào định lí về tổng ba góc của một tam giác, hãy tính tổng A + B + c + D. Hướng dẫn Định lí về tổng ba góc của một tam giác là : "Trong một tam giác, tổng số’ đo ba góc trong bằng 180°". BAD + ADB + DBA + BDC + CBD + BCD = 180° + 180° Hay BAD + ADC + DCB + CBA = 360g (dpcm). GIẢI BÀI TẬP 1 Tìm X ở các hình sau : Giải Ta có :  + B + c + D = 360° (tổng các góc của tứ giác) 110° + 120° + 80° + X = 360° => 310° + X = 360° => X = 360° - 310° = 50°. Ta có : Ê + F + G + H = 360° (tổng các góc của tứ giác) => 90° + 90° + X + 90° = 360° => X + 270° = 360° =5 X = 360° - 270° = 90°. Ta có :  + B + D + Ê = 360° (tổng các góc của tứ giác) => 65° + 90° + X + 90° = 360° => 245° + X = 360° => X = 360° - 245° = 115°. Ta có : KIN = 90° (NI 1 KI) IKM = 180° - 60° = 120° (hai góc kề bù) KMN = 180° -105° = 75° (hai góc kề bù) Vậy : KIN + IKM + KMN + INM = 360° (tổng các góc của tứ giác) => 90° + 120° + 75° + X = 360° => 285° + X = 360° => X = 360° - 285° = 75°. Ta có : p + Q + R + S = 360° (tổng các góc của tứ giác) => X + X + 95° + 65° = 360° 200° => 2x + 160° = 360° => 2x = 200° => X = = 100°. 2 g) Ta có : M + N + p + Q = 360° (tổng các góc của tứ giác) => 3x + 4x + X + 2x = 360° => lOx = 360° => X = 360 ■ = 36° 10 2 Góc kề bù với một góc của tứ giác còn gọi là góc ngoài của tứ giác. Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình a. Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình b (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài) : Al + Bl + Cl + D1 = ? Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài của tứ giác ? Giải a) 'Ta có : Ta có : B1 = 90° (do BC 1 AB) C1 = 180° -120° = 60° (C1 và BCD kề bù) Â1 = 180° - 75° = 105° (Â1 và BAD kề bù) ADC + BCD + ABC + BAD = 360° (tổng các góc của tứ giác) ẤDC + 120° + 90° + 75° = 360° xẤDC + 285° = 360° => ADC = 360° - 285° = 75° D1 = 180° - ADC = 180° - 75° = 105° (D1 và ADC kề bù) Tổng các góc ngoài của tứ giác : Â1 + Bl + Cl + D1 = 105° + 90° + 60° + 105° = 360° . Â1 = 180° - BAD b) Ta có : Bl = 180° - ABC „' , , , , . , , > , „ ~ (tính chất hai góc kê bù) C1 = 180° - BCD D1 = 180° - ADC Suy ra : Â1 + Bl + Cl + D1 = 720° - (BAD + ABC + BCD + ADC) = 720° - 360° (tổng các góc tứ giác bằng 360°) = 360°. c) Nhận xét : Tổng các góc ngoài của tứ giác bằng 360° (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ lấy một góc ngoài). Ta gọi tứ giác ABCD trên hình dưới đây có AB = AD, CB = CD là hình "cái diều". Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD. Tính B, D biết rằng  = 100°, C = 60°. Giải Ta có : AB = AD (gt) CB = CD (gt) Vậy AC là trung trực của BD. Xét AABC và AADC, ta có : AB = AD (gt) AC : cạnh chung BC = CD (gt) => AABC = AADC (c.c.c) => CBA = CDA Do : BAD + CBA + BCD + CDA = 360° (tổng các góc của tứ giác) => 100° + CBA + 60° + CBA = 360° => 2CBA + 160° = 360° 2CBA = 360° -160° = 200° => CBA = = 100° 2 Vậy : CBA = CDA = 100°. Dựa vào cách vẽ các tam giác đã học, hãy vẽ lại các tứ giác ở hình dưới đây vào vở. • Hình a : Vẽ đoạn thẳng BC = 3cm. Trên cùng nửa mặt phăng bờ là BC, vẽ các cung tròn tâm B bán kính l,5cm và tâm c bán kính 2cm, chúng cắt nhau tại A. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là BC không chứa điểm A, vẽ các cung tròn tâm B bán kính 3cm và tâm c bán kính 3,5cm, chúng cắt nhau tại D. Vẽ các đoạn thẳng AB, BD, DC, CA. • Hình b : - Vẽ góc xAy = 70°. 4cm D y Lấy trên Ax điểm B, sao cho AB = 2cm. Lấy trên Ay điểm D, sao cho AD = 4cm. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là BD không chứa điểm A, vẽ các cung tròn tâm B bán kính l,5cm và tâm D bán kính 3cm, chúng cắt nhau tại c. Vẽ các đoạn thẳng BC, CD. Đố. Đô' em tìm thấy vị trí của "kho báu" trên hình bên, biết rằng kho báu nằm tại giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD, trong đó các đỉnh của tứ giác có tọa độ như sau : A(3; 2), B(2; 7), C(6; 8), D(8; 5). Vị trí kho báu ở tọa độ E(5; 6).