Giải bài tập Toán 8 §3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

§3. NHỮNG HẰNG ĐANG thức đáng nhớ
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1 Với a, b là hai sô' bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b).
Hướng dẫn
Ta có : (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Vậy : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1).
?2 Phát biểu hằng đẳng thức (1) bằng lời.
Hướng dẫn
Bình phương của một tổng bằng tổng bình phương mỗi sô' hạng cộng với hai lần tích hai sô' đó.
?3 Tính [a + (-b)]2 (với a, b là các sô' tùy ý).
Hướng dẫn
Ta có : [a + (-b)]2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2 - 2ab + b2 Vậy : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (2).
?4
?5
?6
?7
Phát biểu hằng đẳng thức (2) bằng lời.
Hướng dẫn
Bình phương của một hiệu bằng tổng bình phương mỗi sô' hạng trừ đi hai lầri tích hai sô' đó.
Thực hiện phép tính (a + b)(a - b) (với a, b là các số tùy ý).
Hướng dẫn
Ta có : (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab + b2 = a2 - b2
Vậy : a2 - b2 = (a + b)(a - b) (3).
Phát biểu hằng đẳng thức (3) bằng lời.
Hướng dẫn
Hiệu của hai bình phương bằng tích của tổng và hiệu của sô' hạng thứ nhất với sô' hạng thứ hai.
Ai đúng ? Ai sai ?
Đức viết : X2 - lOx + 25 = (x - 5)2
Thọ viết : X2 - lOx + 25 = (5 - x)2
Hương nêu nhận xét : Thọ viết sai, Đức viết đúng.
Sơn nói : Qua ví dụ trên mình rút ra được một hằng đảng thức râ't đẹp !
Hây nêu ý kiến của em. Sơn rút ra được hằng đẳng thức nào ?
Hướng dẫn
Cả Đức và Hương đều đúng.
Có thể Sơn rút ra được hằng đẳng thức sau : (a - b)2 = (b - a)2.
GIẢI BÀI TẬP
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu :
X2 + 2x + 1	b) 9x2 + y2 + 6xy
25a2 + 4b2 - 20ab	d) X2 - x + —.
4
Giải
X2 + 2x + 1 = X2 + 2.X.1 + l2 = (x + l)2
9x2 + y2 + 6xy = (3x)2 + y2 + 2.(3x).y = (3x + y)2
25a2 + 4b2 - 20ab = (5a)2 + (2b)2 - 2.(5a).(2b) = (5a - 2b)2
„2 „ 1	„2 „ 1	fl)	c if
4	2	<2;	I	2j
17
Chứng minh rằng : (10a + 5)2 = 100a.(a + 1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng để tính : 252; 352;
18
a)
a)
19
652; 752.
Giải
(10a + 5)2 = (10a)2 + 2.(10a).5 + 52 = 100a2 + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25
(Tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ sô' 5 ta lấy chữ sô' hàng chục nhân với sô' liền sau của nó, sau đó nhân kết quả với 100 và cộng kết quả tìm được với 25)
Ví dụ : 952 = 9.10.100 + 25 = 9000 + 25 = 9025
252 = 625;	352 = 1225;	652 = 4225;	752 = 5625.
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ :
a) X2 + 6xy + ... = (... + 3y)2
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Giải
X2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2
Đề bài tương tự :
x2 + 4xy + ... = (... + 4y)2
Kết quả : a) X2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)2
b) X2 - 8xy + 16y2 = (x - 4yý.
Đố. Tính diện tích phần hỉnh còn lại mà không cần đo.
Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a - b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu ? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không ?
b) ... - lOxy + 25y2 = (... - ...)2
b) X2 - lOxy + 25y2 = (x - 5y)2
b) ... - 8xy + 16y2 = (... - ...)2
Giải
Diện tích hình vuông lúc đầu : (a + b)2
Diện tích hình vuông bị cắt : (a - b)2
Diện tích phần còn lại :
(a + b)2 - (a - bí
= a2 + 2ab + b2 - (a2 - 2ab + b2)
= a2
Vậy diện tích phần hình còn lại không phụ thuộc vào vị trí bị cắt.
.2
a - b
a - b
a + b
+ 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2 = 4ab
LUYỆN TẬP
20
21
Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau : X’ + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2.
Giải
Ta có : (x + 2y)2 = X2 + 2.x.(2y) + (2y)2 = X2 + 4xy + 4y2.
Do vậy kết quả sai.
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu :
9x2 - 6x + 1	b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1.
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Giải
9x2 - 6x + 1 = (3x)2 - 2.(3x).l + l2 = (3x - l)2
(2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1 = (2x + 3y)2 + 2(2x + 3y).l + l2 = (2x + 3y + l)2 Đề bài tương tự : a) 4x2 - 4x + 1
(x - 2y)2 + 2(x - 2y) + 1 Kết quả : a) 4x2 - 4x + 1 = (2x)2 - 2.(2x) + l2 = (2x - l)2
(X - 2y)2 + 2(x - 2y) + 1 = (x - 2y + l)2.
Tính nhanh :
a) 1012	b) 1992	c) 47.53.
Giải
1012 = (100 + l)2 = 1002 + 2.100 + 1 = 10000 + 200 + 1 = 10201
1992 = (200 - l)2 = 2002 - 2.200 + 1 = 40000 - 400 + 1 = 39601
47.53 = (50 - 3)(50 + 3) = 502 - 32 = 2500 - 9 = 2491.
Chứng minh rằng : (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab.
Áp dụng : a) Tính (a - b)2, biết a + b = 7 và a.b = 12.
b) Tính (a + b)2, biết a - b = 20 và a.b = 3.
Giải
Vế phải : (a - b)2 + 4ab = a2 - 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2
= (a + b)2 = vế trái
Vậy : (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab.
Vế phải : (a + b)2 - 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab = a2 - 2ab + b2
= (a - b)2 = vế trái Vậy : (a - b)2 - (a + b)2 - 4ab.
Áp dụng :
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab = 72 - 4.12 = 49 - 48 = 1
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab = 202 + 4.3 = 400 + 12 = 412.
Tính giá trị của biểu thức 49x2 - 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau :
a) X = 5	b) X = ỉ.
Giải
Đặt A = 49x2 - 70x + 25 = (7x)2 - 2.7x.5 + 52 = (7x - 5)2
x = 5, ta có : A = (7.5 - 5)2 = 302 = 900
1	( 1	'ì2
X = 4 , ta có : A = 7.4 - 5 = (-4)2 = 16.
7	< 7	)
25~| Tính :
(a + b + c)2	b) (a + b - c)2	c) (a - b - c)2.
Giải
(a + b + c)2 = [a + (b + c)]2 = a2 + 2a(b + c) + (b + c)2
= a2 + 2ab + 2ac + b2 + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b - c)2 = [(a + b) - c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 - 2ac - 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc
(a - b - c)2 = [a - (b + c)]2 = a2 - 2a(b + c) + (b + c)2
= a2 - 2ab - 2ac + b2 + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc.