Giải bài tập Toán 8 §5. Diện tích hình thoi
§5. DIỆN TÍCH HÌNH THOI BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT ?1 ?2 ?3 Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo AC, BD, biết AC 1 BD tại H (hình bên). Gợi ý : Sabc = Sadc = Sabcd = Hướng dẫn Ta có : Sabc = ịBH.AC ; SADC = ịoH.AC 2 2 Mà Sabcd= Sabc + Sadc Nên Sabcd = ^BH.AC + ỈDH.AC = ^AC(BH + DH) = ÌaC.BD. 2 2 2 2 Hãy viết công thức tính diện tích hình thoi theo hai đường chéo. Gợi ý : Hình thoi có hai đường chéo vuông góc. Hướng dẫn Gọi di và d2 là hai đường chéo của hình thoi ABCD, theo trên ta có : Sabcd = -d1.d2. ĩu Hãy tính diện tích hình thoi bằng cách khác. Gợi ý : Hình thoi cũng là hình bình hành. Hướng dẫn Gọi h là chiều cao và a là độ dài cạnh của hình thòi ABCD. Vì hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên diện tích của hình thoi cho bởi công thức Sabcd = a.h. GIAI BAI TẠP 32 a) Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là : 3,6cm; 6cm và hai đường chéo đó vuông góc với nhau. Có thế’ vẽ được bao nhiêu tứ giác như vậy ? Hãy tính diện tích tứ giác vừa vẽ. b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d. Giải a) Ta vẽ được vô số tứ giác theo yêu cầu đề bài. Diện tích tứ giác ABCD s = ịAC.BD = ị .3,6.6 = 10,8cm2. 2 2 AC = BD = d AC 1 BD Tứ giác ABCD có : AC = 3,6cm; BD = 6cm; AC 1 BD b) Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo AC = d Do tứ giác ABCD là hình vuông nên Diện tích hình vuông là : 1 CÌ 2 s = 4aC.BD= é.d.d= ^-(đvdt). 2 2 Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của một hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi. Giải Cho hình thoi ABCD, vẽ hình chữ nhật ACEF có cạnh AC bằng đường chéo hình thoi và cạnh kia bằng — BD. 2 ÍABIA /ACIB Rõ ràng = ADFA (cạnh huyên - góc => Sbia - Sdfa Scib = Sdec Suy ra : SABCD = Sadc + Sbia + SciB = SADC + Sdpa + Sdec = Sacef = AC.ID = |aC.BD 2 Đây là một phương pháp chứng minh công thức tính diện tích hình thoi. 34 Cho một hình chư nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật. Vì sao tứ giác này là một hình thoi ? So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi. Giải Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M, N, p, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. AMAQ và AMBN có : MAQ = MBN = 90° MA = MB = 2 AQ = BN Ạ p pp AQ = BN = và AD = BC 2 2 Nên AMAQ = AMBN => MQ = MN Chứng minh tương tự, ta được : AMAQ = AMBN = APCN = APDQ Do đó : MQ = MN = NP = PQ. Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi. Mặt khác AMBN = ANOM APCN = ANOP (cạnh huyền - góc nhọn) APDQ = AQOP AMAQ = AQOM Suy ra : Smnpq = — Sabcd = — AB.AD = — MP.QN Lí Đây cũng là một phương pháp chứng minh công thức tính diện tích hình thoi. 35 Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6cm và một trong các góc của nó có sô' đo là 60°. Giải B c D Cho hình thoi ABCD có AB = 6cm, BAD = 60°. AABD có AB = AD và BAD = 60° nén là tam giác đều. Vậy BD = AB = AD - 6cm. Gọi H là giao điểm của BD và AC. Ta có : AC 1 BD và H là trung điểm BD. AAHB vuông tại H, ta có : AH2 = AB2 - BH2 = 62 — 32 = 36 — 9 = 27 = (3V3)2 => AH = 3^3 Suy ra : AC = 2.AH = 6-/3 Diện tích hình thoi ABCD : Sabcd = I BD.AC = ỉ .6. 65/3 = 185/3 cm2. 2 2 36 Cho một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lổn hơn ? Vì sao ? Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng chu vi ỉà 4a. Khi đó : SjviNPQ — a2' Từ đỉnh góc tù của hình thoi ABCD kẻ đường cao BH có độ dài h. Lúc đó : Sabcd = a.h Rõ ràng h ah < a2 Sabcd - Smnpq Dấu "=" xảy ra khi hình thoi trở thành hình vuông.