Giải bài tập Toán 8 §10. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

§10. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYET
Cho hai đường thẳng song song a và b (hình bên). Gọi A và B là hai điểm bất kì thuộc đường thẳng a, AH và BK là các đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng b. Gọi độ dài AH là h. Tính độ dài BK theo h.
Hướng dẫn
Ta có tứ giác ABHK là hình chữ nhật, do đó BK = AH = h.
?2
Cho đường thẳng b. Gọi a và a' là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cùng cách đường thẳng b một khoảng bằng h (hình bên), (I) và (II) là các nửa mặt phảng bờ b. Gọi M, M' là các điểm cách đường thẳng b
a A	M
(I)
b
h
-1 H'
h
-1 K'
H
(II)
a'	
J	K L
h
h
A'	M'
một khoảng bằng h, trong đó M thuộc nửa mặt phẳng (ĩ), M' thuộc nửa mặt phảng (II). Chứng minh rằng M e a, M' e a'.
Hướng dẫn
Ta có tứ giác AHKM là hình chữ nhật nên AH = KM = h, tức là M e a.
Tương tự, ta cũng chứng minh được M’ G a'.
?3
Xét các tam giác ABC có cạnh BC cố định, đường cao ứng với cạnh BC luôn bằng 2cm (hình bên). Đỉnh A của các tam giác đó nằm trên đường nào ?
Hướng dan
Đỉnh A của các tam giác đó nằm trên đường thẳng song song với đường thẳng BC và cách đường thẳng BC một khoảng bằng h.
?4
Cho hình bên, trong đó các đường thẳng a, b, c, d song song với nhau. Chứng minh rằng :
Nếu các đường thẳng a, b, c, d song song cách đều thì EF = FG = GH.
Nếu EF = FG = GH thì các đường thẳng a, b, c, d song song cách đều.
Hướng dẫn
d D
b B
a A
c c
a)
Theo định lí Ta-lét, ta có
AB EF BC
CD ” FG ’ CD
FG
GH
Mà AB = BC = CD nên EF - FG = GH (đpcm).
b) Dựa vào hệ quả của đinh lí Ta-lét, ta cũng suy ra điều cần chứng minh.
A
GIẢI BÀI TẬP
67
Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kì. Trên tia Ax lấy các điếm c, D, E sao cho AC = CD = DE (hình bên). Kẻ đoạn thẳng EB. Qua c, D kẻ các đường thẳng song song với EB. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bàng nhau.
Giải
Kè dường thẳng a qua A, a // E13. Suy ra : a // CC' // DD' // EB
Do AC = CD = DE nên các dường thẳng a. CO’, DD', EB là các đường thẳng song song cách dều.
Vậy : AC' = C'D' = D'B.
Cách khác : AADD' có CC' // DD' và AC = CD
nên AC" = CD' (tính chất dườngdrung bình
trong tam giác.)
Tứ giác CCBE là hình thang (CC // EB) có :
DD' // cc // EB và CD = DE
68
69
nén C'D' = D'B (tính chât đường trung bình của hình thang)
Vậy : AC = CD' = D'B.
Cho diêm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm. Lây điểm B bât kì thuộc dường thẳng d. Gọi c là điểm đôi xứng với điểm A qua điểm B. Khi diêm B di chuyền trên đường thẳng d thì điểm c di chuyển trên dường nào ?
Giải
Gọi Al l là khoảng cách từ A đến d. Kẻ CK 1 d.
c cách d cô định một khoảng không dổi 2cm, nên c di chuyển trên đường thẳng a song song với d và cách d một khoảng 2cm.
Tập hợp các điểm cách điểm A cô định một khoáng 3cm.
Tập hợp các điểm cách đều hai dầu cùa đoạn thẳng AB cố định.
Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy và cách dều hai cạnh cua góc đó.
Tập hựp các điểm cách đều dường thang a cố (lịnh một khoảng 3cm.
là đường trưng trực cúa đoạn thẳng AB.
là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoáng 3cm.
là đường tròn tâm A bán kính 3 cm.
là tia phân giác cùa góc xOy.
Ghép mồi ý (1), (2), (3), (4) với một trong các ý (5), (6), (7), (8) để được một khang định đúng :
Giải
(1) - (7);	(2)-(5);	(3) - (8);	(4) - (6).
LUYỆN TẬP
70 Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm. Lấy B là một điểm bất kì thuộc tia Ox. Gọi c là trung điểm của AB. Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm c di chuyển trên đường nào ?
Giải
Cách.l : Kẻ CH 1 Ox
■ Ta có : Oy 1 Ox nên CH // Oy
Trong AOBA, CH // OA và CB = CA nên :
HO = HB
=> CH là đường trung bình của AOBA
y
H
B X
o
Do đó : CH =	= - = lem
c cách tia Ox cố định một khoảng không đổi lcm nên c di chuyển trên tia Em // Ox và cách Ox một khoảng lcm.
Cách 2 : AOBA vuông tại 0 (xOy = 90°) có oc là đường trung tuyến nên oc = CA => c cách đều hai đầu đoạn thẳng OA cố’ định, nên c di chuyển trên đường trung trực của đoạn OA.
Do B chỉ di động trên tia Ox. Vậy c di động trên tia Em thuộc trung trực của OA (Em và Ox cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Oy).
71 Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, o là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng ba điểm A, 0, M thẳng hàng.
Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm o di chuyển trên đường nào ?
Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất ?
Giải
B
c
a) Ta có : DAE = 90°
Ta có : DAE = 90° (AABC vuông tại A)
MẼÃ = 90° (ME ± AC)
ADM = 90° (MD 1 AB)
Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật có o
là trung điểm của DE.
là trung điểm của DE.	A	o, E
Suy ra o là trung điểm của AM. Vậy A, o, M thẳng hàng.
b) Kẻ AH 1 BC. Do A, B, c cố định nên AH cố định.
AAHM vuông tại H có HO là trung tuyến nên HO = OA (= OM)
Do 0 cách đều hai đầu đoạn thẳng AH cố định nên o di động trên đường trung trực của AH.
Giới hạn. : Khi M tiến đến B, o tiến đến O] (01 là trung điểm AB)
M tiến đến c, 0 tiến đến 02 (02 là trung điểm AC)
Vậy 0 di động trên đoạn O1O2 thuộc trung trực của AH (O1O2 là đường trung bình của AABC).
Ta có : AB > AH (đường vuông góc và đường xiên)
Dấu "=" xảy ra khi M = H
Vậy AM có độ dài nhỏ nhất khi M là chân đường cao kẻ từ A của AABC.
72
?1
Đố. Để vạch một đường thẳng song song với mép gỗ AB và cách mép gỗ 10cm, bác thợ mộc đặt đoạn bút chì CD dài 10cm vuông góc với ngón tay trỏ lấy làm cữ (hình bên), rồi đưa ngón trỏ chạy dọc theo mép gỗ AB. Căn cứ vào kiến thức nào mà ta kết luận được rằng đầu chì c vạch nên đường thẳng song song vói AB và cách AB là 10cm ?
Giải
Điểm c cách mép gỗ AB một khoảng không đổi là 10cm nên đầu bút chì c vạch nên đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 10cm.