Giải bài tập Toán 8 §12. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

§12. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SAP XẾP
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Kiểm tra lại tích (x2 - 4x - 3)(2x2 - 5x + 1) có bằng (2x4 - 13x3 + 15x2 + llx - 3) hay không ?
Hướng dẫn
Ta có : (x2 - 4x - 3)(2x2 - 5x + 1)
= 2x4 - 5x3 + X2 - 8x3 + 20x2 - 4x - 6x2 + 15x - 3
= 2x4 - 13x3 + 15x2 + llx - 3.
GIẢI BÀI TẬP
Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia :
(x3 - 7x + 3 - X2) : (x - 3)
(2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2).
Giải
X3 - X2 - 7x + 3 X - 3
X3 - 3x2	X2 + 2x - 1
2x2 - 7x + 3
2x2 - 6x
X + 3
X + 3
0
Vậy : (x3 - 7x + 3 - X2) : (x - 3) = X2 + 2x - 1.
b)
2x4 - 3x3 - 3x2 + 6x - 2
2x4
- 4x2
X2- 2
2x2 - 3x + 1
- 3x3 + X2 + 6x - 2
+ 6x
- 3x3
X2
X2
Vậy : (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2) = 2x2 - 3x + 1.
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia :
(x2 + 2xy + y2) : (x + y)	b)	(125x3	+	1) : (5x + 1)
(x2 - 2xy + y2) : (y - x).
Giải
(x2 + 2xy + y2) : (x + y) = (x + y)2	:	(x	+	y) =	X	+ y
(125x3 + 1) : (5x + 1) = [(5x)3	+	1]	:	(5x	+	1)
= (5x + l)[(5x)2 - 5x.l + l2] : (5x + 1)
= 25x2 - 5x + 1
(x2 - 2xy + y2) : (y - x) = (x - y)2 : [-(x - y)] = -(x - y) = y - X.
Cách khác :
(x2 - 2xy + y2) : (y - x) = (x - y)2 : (y - x) = (y - x)2 : (y - x) = y - X.
Cho hai đa thức : A = 3x4 + X3 + 6x - 5 và B = X2 + 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.
Giải
3x4 + X3 + 6x - 5	X2 + 1
3x4	+ 3x2	3x2 + X - 3
X3 - 3x2 + 6x - 5
X3	+ X
3x2 + 5x - 5
3x2	-3
7	5x - 2
Vậy : (3x4 + x3 + 6x - 5) = (x2 + l)(3x2 + x - 3) + 5x - 2. Dư của phép chia A cho B là R = 5x + 2.
LUYỆN TẬP
Làm tính chia :
(25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2	b) (15x3y2 - 6x2y - 3x2y2) : 6x2y.
Giải
(25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 = (25x5 : 5x2) + (-5x4 : 5x2) + (10x2 : 5x2)
= 5x3 - X2 + 2
(15x3y2 - 6x2y - 3x2y2) : 6x2y
= (15x3y2 : 6x2y) + (-6x2y : 6x2y) + (-3x2y2 : 6x2y) = |xy -1 - iy.
Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không.
a) A = 15x4 - 8x3 + X2; B = -ị-x2 b) A = X2 - 2x + 1; B = 1 - X.
2
Giải
Mỗi hạng tử của đa thức A chia hết cho đơn thức B. Vậy A chia hết cho B.
Ta có A = (x - l)2 do biểu thức (x - l)2 chia hết cho 1 - X nên A chia hết cho B.
Làm tính chia : (2x4 + X3 - 3x2 + 5x - 2) : (x2 - X + 1).
Giải
2x4 + X3 - 3x2 + 5x - 2 X2 - X + 1
2x4 - 2x3 + 2x2	2x2 + 3x - 2
3x3 - 5x2 + 5x - 2
3x3 - 3x2 + 3x
2x2 + 2x - 2
2x2 + 2x - 2
0
Vậy : (x4 + X3 - 3x2 + 5x - 2) : (x2 - X + 1) = 2x2 + 3x - 2.
Tính nhanh :
a) (4x2 - 9y2) : (2x - 3y)	b) (27x3 - 1) : (3x - 1)
(8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1)	d) (x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y).
Giải
a) (4x2 - 9y2) : (2x - 3y) = [(2x)2 - (3y)2] : (2x - 3y)
= (2x - 3y)(2x + 3y) : (2x - 3y) = 2x + 3y
(27x3 - 1) : (3x - 1) = [(3x)3 - 1] : (3x - 1)
= (3x - l)[(3x)2 + 3x.l + l2] : (3x - 1) = 9x2 + 3x + 1
(8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1) = [(2x)3 + l3] : (4x2 - 2x + 1)
= (2x + l)[(2x)2 - 2x.l + I2] : (4x2 - 2x + 1)
= (2x + l)(4x2 - 2x + 1) : (4x2 - 2x + 1)
= 2x + 1
(x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y) = [x(x - 3) + y(x - 3)] : (x + y)
= (x - 3)(x + y) : (x + y) = X - 3.
Tìm số a để đa thức 2x3 - 3x2 + X + a chia hết cho đa thức X + 2.
Giải
2x3 - 3x2 + X + a	X + 2
2x3 + 4x2	 2x2 - 7x + 15
7x2 + X + a
7x2 - 14x .
lõx + a
15x + 30	■
a- 30
Vậy : (2x3 - 3x2 + X + a) = (x + 2)(2x2 - 7x + 15) + a - 30
Để đa thức (2x3 - 3x2 + X + a) chia hết cho đa thức (x + 2) ta phải có
a-30 = 0 a = 30.