Giải bài tập Toán 8 §9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

9. BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ.
GIÁ TRỊ CỦA PHÀN THỨC
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1
Biến đổi biểu thức B =
2
X —1
2x
thành một phân thức.
.2
Hướng dẫn
2	x-1+2
Ta có ■ B =	+ x-1 = X - 1	= x + 1 X2 +1 = (x + l)(x2 + 1)
1 + 2x X2 + 1 + 2x X - 1 (x + l)2 (x - l)(x + l)2 x2+l X2 + 1
X2 +1	_ X2 +1
(x - l)(x + 1) ~ X2 - 1
?2
a)
Cho phân thức * + 1 ■
X2 + X
Tìm điều kiện của X để giá trị của phân thức xác định.
Tính giá trị của phân thức tại X = 1000000 và tại X = -1.
Hướng dẫn
Điều kiện để giá trị của phân thức xác định là :
„2
b)
Ta CÓ :
X * 0
x + 1
X2 + X
1
x(x + 1) * 0
Xi 0 vàx í -1.
. Do đó, với X = 1000000 thì giá trị của phân thức X
46
a)
b)
47
a)
bằng
1000000
và tại X = -1 thì giá trị của phân thức không xác định.
GIẢI BÀI TẬP
Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số :
1-A b) 1+1
X2 -1
a)
1--
X
Ị_
X
1-1
X
1-1
X
Giải
x + l X _(x + l)x_x + l
X X - 1 x(x - 1) X - 1
1--2-
X + l
X2 - 2
X2 -1
X2 x2-l
-2
x + 1-2 X2 - 1 - X2 + 2
X + 1	X2 - 1
x-1
1
x2-l
X - 1 X2 - 1
(x - l)(x - l)(x + 1) _	_ 2
Với giá trị nào của X thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định ?
, 5x	x-1
a)	b) 9 ••
2x + 4	X2 - 1
Giải
Điều kiện : 2x + 4 V 0 2x * -
X - * —2
5X
Vậy điều kiện để giá trị của phán thức ———- được xác định là X * —2.
2x + 4
Điều kiện : X2 - 1 * 0 => X2 * 1	=> X * 1 và X *-1
x 1 a ■>	,	X — 1
Vậy điều kiện đê giá trị của phân thức	—— được xác định là X * 1
X2 -1
và X * -1.
Cho phân thức x +	+■
Với điều kiện nào của X thì giá trị của phân thức được xác định ?
Rút gọn phân thức.
Tìm giá trị của X để giá trị của phân thức bằng 1.
Có giá trị nào của X để giá trị của phân thức bằng 0 hay không ?
Giải
Điều kiện : X + 2 * 0	=>	x*-2
K	_	,	X2 + 4x + 4
Vậy điều kiện để giá trị của phân thức 	——-— được xác định là
X + 2
X * -2.
. X	. X + 4x + 4 (X + 2)2
Ta có : 	--— = —— = X + 2
X + 2 X + 2
Giá trị của X để giá trị của phân thức là 1 thì X + 2 = 1 => X = -1 (thỏa điều kiện xác định).
Vậy với X = -1 thì giá trị của phân thức đã cho là 1.
Nếu giá trị của phân thức là 0 thì X + 2 = 0 => X = -2 (không thỏa điều kiện xác định).
Vậy không có giá trị nào của X để phân thức đã cho có giá trị bằng 0.
Đô'. Đố em tìm được một phân thức (của một biến x) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của X khác các ước của 2.
Giải
Các ước của 2 là ±1; ±2.
Ta có thể chọn phân thức 	—	—	— để giá trị của nó
(x + l)(x - l)(x + 2)(x - 2)
được xác định với mọi giá trị của X sao cho X * ±1; X * ±2.
LUYỆN TẬP
50
Thực hiện các phép tính :
a)
r X
lx + 1
/■
1-
3x2 ì
1-X2J
b) (x2- l)f—-1
V X - 1 X + 1
Giải
a)
3x2 "
1-x2,
x + x + 1 1-x2-3x2 2x + 1 1-4x2
1-x2
1-x2
2x +1
(4x2 -1)
x2-l
2x + l (x-l)(x + l)
x + 1 (2x - l)(2x + 1)
(2x + l)(x - l)(x + 1)
(x + l)(2x - l)(2x +1)
x-1
2x-l
b)
( 1	lì - (x2 11
X + 1 - (x - 1) - (x - l)(x + 1)
1X-1 x+l J
(X - l)(x + 1)
(X2
(X - l)(x +1)
51
Làm các phép tính
a)
b)
X2 + 4x + 4 X2 - 4x + 4
1
x-2
(x2-l)
X + 1 - X + 1 - (x2 - 1)
1
(x-l)(x + l)
(X2 -1)(2 - X2 + 1)
(x-l)(x + l)
(x - l)(x + 1)(3 - X2)	2
	—	 — *3 — X •
Giải
a)
X 1.1
„+~
y X
_ (x + y)(x2 -xy+ y2)
xy2
b)
xy2
fx2-xy + y2ì
xy2
(x + y)(x2 -xy+ y2).xy2
X2 - xy + y2 xy2(x2 - xy + y2)
xy2
1	1
x2 + 4x + 4 X2 - 4x + 4
x-2
	1
(x + 2)2 (x-2)2J ■ L(x + 2)(x-2)_
(x - 2)2 - (x + 2)2
(x + 2)2(x-2)2
2x
(x + 2)(x - 2)
X2 - 4x + 4 - X2 - 4x - 4 (x + 2)(x - 2)
(x + 2)2(x-2)2
2x
-8x(x + 2)(x - 2)
(x + 2)2(x - 2)2.2x
-4
(x + 2)(x - 2)
52
Chứng tỏ rằng với X * 0 và X * ia (a là một sô' nguyên), giá trị của biểu
2a 4a
(	-.2 ,
x, . •	X +a
thức a - 	—
là một sô' chẵn.
Giải
Ta có :
2a
(với X * 0, X ±a)
2	2 A
X + a a	
X + a a(x + a) - (x2 + a2) P2a(x-a)-4ax
x(x - a)
ax + a2 - X2 - a2
2ax - 2a2 - 4ax
ax - X2 (~2a2 - 2ax)
x(x - a)
X + a x(x - a)
-x(a - x).2a(a + x)
(x + a).x(x - a)
x(x - a).2a(a + x) _	... *	.	Ã ,
—-	-■— 	— = 2a (là so chăn do a nguyên).
(x + a).x(x-a)
53
Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại sô':
Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức :
thành phân thức đại sô' và kiếm tra lại dự đoán đó.
Giải
. _	1,1 X + 1
a) • 1 + — = ——
X X
d 1	,	1	, X x + l + x 2x +1
1 + ——V = 1 + ——T = 1 + ——7 =	—7— = — .
I + 2. x +1 x + 1 x + 1 x + 1
X	X
,	1 d 1 n X +1 2x + l + x + l 3x + 2
1 +	 1 = 1 + n-"-y = 1 + —	= 	'	7	 = _	7
i + 1	2x + 1 2x + 1 2x + 1 2x + 1
l + ỉ X + 1
X
b) Từ kết quả trên ta dự đoán kết quả tiếp theo là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả của trước nó.
8x + 5
5x + 3
(Nếu biểu thức có 4 vạch phân số thì kết quả là _	_ , có 5 vạch
3x + 2
phân sô' thì kết quả là 8x + 5)
5x + 3
Thật vây : 1 + 	ìy	= 1 +	\	= 1 + ■ 2x~l
1+;i	1 1+3ĨTã 1 + Ì772
a) „ 9 \	b) 2 „•
2x2 - 6x	X2 - 3
Giải
Điều kiện : 2x2 - 6x * 0 => 2x(x - 3) * 0 =>	x^0vàx-3^0
=> X í 0 và X * 3
3x + 2
Vậy điều kiện để giá trị của phân thức — được xác định là 2x2-6x
X * 0 và X * 3.
Điều kiện : X2 - 3 * 0	=> X2 - (Vã)2 * 0 => (x + V3)(x - V3) * 0
5	r-
--— được xác định là X * 73 2 -3
=> X * 73 và X * -73
Vậy điều kiện để giá trị của phân thức —
X
và X í —/3.
55
, . ,,	X2 + 2x + 1
Cho phân thức
a)
b)
x2-l ■
Với giá trị nào của X thì giá trị của phân thức được xác định ?
x + 1
X —1'
Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là
Để tính giá trị của phân thức đã cho tại X = 2 và tại X = -1, bạn Thắng đã làm như sau :
c)
a)
Với X = 2, phân thức đã cho có giá trị là - = 3.
2-1
Với X = -1, phân thức đã cho có giá trị là 1 + 1 = 0.
-1-1
Em có đồng ý không ? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai.
Theo em, với những giá	trị nào của biến thì có thể	tính	được	giá	trị
của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân	thức	rút gọn	?
Giải
Điều kiện : X2 - 1 * 0 =>	(x - l)(x + 1) * 0 => X * 1	và X	* -1
s	■>	X2 + 2x 4" 1
Vậy điều kiện để giá trị của phân thức 	y—— được xác định là
X -1
b)
c)
56
X 1 và X -1.
X2 + 2x + 1 _ (x + l)2	_ X + 1
x2-l _ (x-l)(x + l) _ x-1'
Với X = 2, giá trị của phân thức đã cho được xác định. Giá trị của phân 2 + 1
thức là —■ ■£■ = 3.
2-1
Bạn Thắng làm đúng, nhưng với X = -1, giá trị của phân thức không được xác định nên khi tính —1 + 1 = 0 là sai.
-1-1
Ta chỉ tính giá trị của phân thức đã cho nhờ phân thức rút gọn khi những giá trị của biến thỏa điều kiện xác định.
	. 3x2 + 6x + 12
Cho phân thức
a)
b)
c)
X3 -8
VỚI điều kiện nào của X thì giá trị của phân thức được xác định ?
Rút gọn phân thức.
Em có biết trên lem2 bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn
không ? Tính giá trị của biểu thức đã cho tại X = 4901 em sẽ tìm đươc 2000
câu trả lời thật đáng sợ. (Tuy nhiên trong sô' đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại).
a)
b)
c)
57
Giải
Điều kiện : X3 - 8 * 0 => X3 * 23
Vậy điều kiện để giá trị của phân thức 3X + x +1 được xác định là X3 -8
X 2.
3x2 + 6x +12	3(x2 + 2x + 4)	_ 3
X3 - 8	- (x - 2)(x2 + 2x + 4) - X - 2
Với X = 4.221 thỏa điều kiện đế giá trị của phân thức được xác định, 2000
nên giá trị của biểu thức là :
3	=2^222 = 6000
4001 _	4001 - 4000	1
2000	2000
Trên lcm2 bề mặt da có 6000 con vi khuẩn.