Giải bài tập Toán 8 §12. Hình vuông

§12. HÌNH VUÔNG
BÀI TẬP VẬN DỰNG LÍ THUYẾT
?1 Đường chéo của hình vuông có những tính chất gì ?
Hướng dẫn
Đường chéo hình vuông có những tính chất sau :
Cắt nhau tại trung điểm mỗi đường;
Bằng nhau;
Vuông góc với nhau.
79
a)
b)
80
81
?2 Tìm các hình vuông trên hình sau.
Hướng dẫn
Ta có ABCD, MNPQ và RSTU là các hình vuông.
GIẢI BÀI TẬP
Một hình vuông có cạnh bằng 3cm. Đường chéo của hình vuông đó bằng : 6cm, 7Ĩ8cm, 5cm hay 4cm ?
Đường chéo của một hình vuông bằng 2dm. Cạnh của hình vuông đó bằng : ldm, -|dm, 72dm hay -|dm?
2	3
Giải
Tứ giác ABCD là hình vuông nên AB = BC = 3cm AABC vuông tại B, ta có :
AC2 = AB2 + AC2 = 32 + 32' = 18
Vậy : AC = 7Ĩ8cm Đường chéo hình vuông là 7Ĩ8cm.
Gọi X là độ dài cạnh hình vuông. Ta có :
X2 + X2 = 22	=>	2x2 = 4 => X2 = 2
X = 72dm.
Hãy chỉ rõ tâm đôi xứng của hình vuông, các trục đốỉ xứng của hình
vuông.
Giải
Tâm đối xứng của hình vuông là giao điểm hai đường chéo.
Hình vuông có bôn trục đôi xứng đó là hai đường chéo của hình và hai
đường trung bình của hình vuông.
Cho hình bên. Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
Giải
Ta có : ẤẼD = 90° (DE 1 AB)
ẤẼÌ) = 90° (DF 1 AC)
EAF 90° (AABC vuông tại A)
nên AEDF là hình chữ nhật, có AD là phàn giác cúa ÉAF
82
Vậy tứ giác AEDF là hình vuông.
Giài
Cho hình bên, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh ràng tứ giác EFGH là hình vuông.
Xét hai tam giác vuông AEH và BFE, ta có :
AE = BF (gt)
BE = AH
'be = AB - AE JAB = AD
j\H AD- HD va (AE = HD
Nên AAEH = ABFE EF = EH
Chứng minh tương tự. ta suy ra dược :
AAE1-1 = ABFE = ACGF = ADHG => EF = EII = HG = GF
Do đó : tứ giác EFGH là hình thoi	(1)
Mặt khác : AEH + AHE = 90° (AAHE vuông tại A)
Suy ra : ẤẼẼ + BEF = 90° (ẤĨĨẼ = BEF)
Từ dó: ỈĨẼF " 180° - (ẤẼĨI + BEF) - 180° - 90° = 90°	(2)
Từ (1) và (2), ta có EFGH là hình vuông.
LUYỆN TẬP
Các câu sau đúng hay sai ?
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Tứ giác có hai dường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi dường là hình thoi.
Hình thoi là tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau.
Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Giải
Sai b) Dũng c) Đúng	d) Sai e) Đúng.
Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và c. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F.
Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
Điếm 1) ớ vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ?
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác ADEF là hình gì ? Điếm D ờ vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ?
Giải
Ta có : DE // AF (,gt)
DF // AE (gt)
Vậy tứ giác AEDF là hình bình hành.
Đế hình bình hành AEDF là hình thoi ta phái có AD là phân giác FAE
Vậy D là giao điểm tia phân giác A của .XABC và BC thì tứ giác AEDF là hình thoi.
Nếu  = 90° thì tứ giác AEDF là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông)
Đế hình chữ nhật AEDF là hình vuông thì AD là phán giác EAF
Vậy nếu AABC vuông tại A và D là giao điểm tia phân giác A và BC thì AEDF là hình vuông.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
a) Tứ giác ADFE là hình gì ? Vì sao ?
b) Tứ giác EMFN là hình gì ? Vì sao ?
Giải
a) Ta có : AE // DF và AE = DF
(AE = 4^, DF = -^4 và AB = CD)
2	2
nên tứ giác ADFE là hình bình hành
Ta có : AE = 44 = AD và ẺÃD = 90°
2
Vậy ADFE là hình vuông.
b) Tứ giác AECF có AE // CF và AE - CF nên AECF là hình bình hành
Suy ra : AF // CE
Tương tự : DE // BF
Do đó tứ giác EMFN là hình bình hành có EMF = 90° (AEFD là hình vuông) nên EMFN là hình chữ nhật có EM = MF (tính chất đường chéo hình vuông).
Vậy EMFN là hình vuông.
Đố. Lấy một tờ giấy gấp làm tư rồi cắt chéo theo nhát cắt AB (hình bên). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác nhận được là hình gì ? Vì sao ? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì ?
Giải
- Tứ giác nhận được là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Nếu OA = OB thì hai đường chéo của hình thoi bằng nhau. Vậy tứ giác nhận được là hình vuông.