Giải bài tập Toán 8 §3. Hình thang cân

§3. HÌNH THANG CÂN
c
E
G
?1
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Hình thang ABCD (AB // CD) trên hình bên có gì đặc biệt ?
Hướng dẫn
Hình thang ABCD (AB // CD) trên hình bên có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Cho hình sau.
Tìm các hình thang cân.
Tính các góc còn lại của mỗi hình thang càn đó.
Có nhận xét gì về hai góc đối của hình thang cân ?
?2
Hướng dẫn
Trên hình vẽ, ta có : ABCD, MNIK, PQST là các hình thang cân.
Trong hình thang cân ABCD, ta có : BDC = 100°. Trong hình thang cân MNIK, ta có : ĩ = 110°, N = 70°. Trong hình thang cân PQST, ta có các góc đều bằng 90°.
Nhận xét : Tổng hai góc đối của hình thang cân bằng 180°.
?3 Cho đoạn thẳng CD và đường thẳng m Ĩ3	
song song với CD (hình bên). Hãy vẽ các điểm A, B thuộc m sao cho ABCD là hình thang có hai đường chéo CA,
DB bằng nhau. Sau đó hây đo các góc .	,
D	c
88	GBT Toán 8/1 
c và D của hình thang ABCD đó để dự đoán về dạng của các hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
Hướng dẫn
- Ta có : c = D, suy ra hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
GIẢI BÀI TẬP
11 Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông
(hình bên, độ dài của cạnh ô vuông là lem).
Giải
AB = 2cm
CD = 4cm
AD = 712 + 32 = Vĩõ em
. BC = AD = Vĩõ em.
12
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE,
Giải
BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.
AAED vuông tại E (AE ± CD)
ABFC vuông tại F (BF ± CD)
Xét hai tam giác vuông AED và BFC, ta có :
AD = BC _ _	
	 (tứ giác ABCD là hình thang cân) ADE = CBF
=> AADE = ABCF (cạnh huyền - góc nhọn)
Vậy : DE = CF.
13 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.
Giải
Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có :
AD - BC (tứ giác ABCD là hình thang cân)
ADC = BCD (tứ giác ABCD là hình thang cân) CD : cạnh chung
=> AADC = ABCD (c.g.c) => Ácb = BDC
AECĐ có Éẽb = EDC (cmt)
Do đó : AECD cân tại E. Vậy ED = EC.
Mặt khác : AC = BD (tứ giác ABCD là hình thang cân)
Do đó : AC - EC = BD - ED => EA = EB.
14
Đô'. Trong các tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông (hình bên), tứ giác nào là hình thang cân ? Vì sao ?
Giải
Tứ giác ABCD là hình thang cân vì :
AB // CD và AC = BD (AC = BD = Vl2 + 42 = Vữ)
• Tứ giác EFGH không là hình thang cân vì FG /AEH nhưng EG * FH.
(EG = 4 đvđd; FH = Ự22 + 32 = V13 đvđd).
15 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bèn AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.
Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.
Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng A = 50°.
Giải
A
Tương tự : A + B + C = 180° (tông ba góc trong tam giác)
- o	•	~	1 Rf)° _ Â
và B = c (AABC cân tại A) nên B = ——	
2
Từ đó D1 = B mà hai góc này ở vị trí đồrig vị nên DE // BC
Do đó tứ giác BDEC là hình thang có B = C nên BDEC là hình thang càn.
b)
Theo câu trên, ta có :
ê = 180^-A = 180^-50! = 130: = 65O ê = e = 65O
2	2	2
Mặt khác : B + D2 = 180° (góc trong cùng phía và BC // DE)
ÍÌ2 = 180° -65° = 115°
D2 = E2 = 115° (góc đáy hình thang cân).
LUYỆN TẬP
16
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D G AC, E e AB). Chứng minh ràng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Giải
AABC cân tại A, nên ABC = ACB
Mà : B1 = ê2 = --ặ- (BD là phân giác ABC)
2
-	- ACB _
Cl = c2 = (CE là phân giác ACB)
2
17
Suy ra : Bl = B2 = Cl = C2
Xét AABD và AACE, ta có :
AB - AC (AABC cân tại A)
A: góc chung
Bl =C1
Nên AABD = AACE (g.c.g), do đó AD = AE
Chứng minh tương tự bài lõa, ta có BEDC là hình thang cân.
Mặt khác : Ê1 = C2 (so le trong và ED // BC)
Suy ra : Ê1 - Cl (do C2 = Cl) => ADEC cân tại D
Vậy : ED = DC.
Hình thang ABCD (AB // CD) có ACD = BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
c
Giải
Tứ giác ABCD là hình thang (AB // CD) ■ (1) Gọi E là giao điểm hai đường chéo AC và BD
Do D1 = C1 (gt) nên AEDC cân tại E
Mặt khác :
Al = C1
Bl = D1
D
(so le trong và AB // CD) => Al = Bl
Suy ra : ED = EC
Do đó : AEAB cân tại E => EB = EA
Từ đó : ED + EB = EC + EA hay BD = AC	(2)
Từ (1) và (2) cho ta tứ giác ABCD là hình thang cân.
18 Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng :
ABDE là tam giác cân.
AACD = ABDC.
Hình thang ABCD là hình thang cân.
Giải
a) Ta có : AB // CE (AB // CD)
Nên tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh bên song song AC // BE
b)
Ta có :
Ê1 = D1 (ABDE cân tại B) D
Ê1 = C1 (đồng vị và AC // BE)
Suy ra : AC = BE Mà : AC = BD (gt) Do đó : BE = BD Vậy ABDE cân tại B.
Suy ra : Cl = D1
■ Xét AACD và ABDC, ta có : AC = BD (gt)
Cl = D1 (cmt)
CD : cạnh chung
Vậy AACD = ABDC (c.g.c).
Tứ giác ABCD là hình thang có ADC = BCD (AACD = ABDC)
Vậy ABCD là hình thang cân.
19 Đô. Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông (hình bên). Hãy tìm điểm thứ tư M là giao điểm của các đòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốh đỉnh của một hình thang cân.
Giải
Ta có hai vị trí điểm M để được tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của hình thang cân :
Hình thang AMịDK (hai đáy MjD và AK)
Hình thang ADKM2 (hai đáy DK và AMọ).