Giải bài tập Toán 8 §9. Hình chữ nhật
§9. HÌNH CHỮ NHẬT BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT ?1 ?2 a) b) c) ?4 Chứng minh rằng hình chữ nhật ABCD trên hình bên cũng là một hình bình hành, một hình thang cân. Hướng dẫn Trên hình bên, ta có : □. D AB // CD và AD // BC nên ABCD cũng là hình bình hành. AB // CD và D = C nên ABCD cũng là hình thang cân. Với một chiếc compa, ta sẽ kiểm tra được hai đoạn thẳng bằng nhau hay không bằng nhau. Bằng compa, để kiểm tra tứ giác ABCD có là hình chữ nhật hay không, ta làm thế nào ? Hướng dẫn Trước hết ta kiểm tra tứ giác ABCD có là hình bình hành hay không bằng cách đo và so sánh các cặp cạnh đô'i. Sau đó ta đo hai đường chéo, nếu chúng bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật. ?3 Cho hình bên. Tứ giác ABCD là hình gì ? Vì sao ? So sánh các độ dài AM và BC. Tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Hãy phát biểu tính chất tìm được ở câu b) dưới dạng một định lí. Hướng dẫn Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì nó là hình bình hành và có một góc vuông. So sánh : AM = ị-BC. 2 Trong một tam giác vuông, độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa độ dài cạnh huyền. Cho hình bên. Tứ giác ABCD là hình gì ? Vì sao ? Tam giác ABC là tam giác gì ? Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Hãy phát biểu tính chất tìm được ở câu b) dưới dạng một định lí. Hướng dẫn Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì nó là hình bình hành và có hai đường chéo bằng nhau. Tam giác ABC là tam giác vuông. Trong một tam giác, độ dài đường trung tuyến bằng nửa độ dài cạnh tương ứng thì tam giác đó vuông. 58 GIẢI BÀI TẬP Chứng minh rằng : a 5 2 713 b 12 Vẽ 6 d 13 • 7ĨÕ 7 Giải Điền vào chỗ trống, biết rằng a, b là độ dài các cạnh, d là độ dài đường chéo của một hình chữ nhật. a 5 713 b 12 Vẽ d 7ĨÕ 7 Giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đô'i xứng của hình chữ nhật đó. Hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đổì của hình chữ nhật là hai trục đốì xứng của hình chữ nhật đó. Giải Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng. Hình chữ nhật là một hình bình hành. Vậy giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đô'i xứng của hình chữ nhật đó. Hình thang cân nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy làm trục đốì xứng. Hình chữ nhật là một hình thang cân có đáy là hai cạnh đốì của hình chữ nhật. Do đó đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đốì của hình chữ nhật là trục đô'i xứng của hình chữ nhật đó. 60 Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 7cm và 24cm. Giải AABC vuông tại A có AB = 7cm,AC = 24cm. Ta có : BC2 = AB2 + AC2 = 72 + 242 = 625 (Py-ta-go) => BC = 25cm B AABC vuông tại A, có AM là trung tuyến : 2 2 A c 61 Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đô'i xứng với H qua I. Tứ giác AHCE là hình gì ? Vì sao ? Giải A1l, BC 25 AM - —— = ^- = 12,5cm. Ta có : I là trung điểm AC (gt) I là trung điểm HE (H, E đốì xứng nhau qua I) Nên tứ giác AHCE là hình bình hành và AHC = 90° (AH 1 BC) Vậy AHCE là hình chữ nhật. LUYỆN TẬP 62 Các câu sau đúng hay sai ? 2 Nếu tam giác ABC vuông tại c thì điểm c thuộc đường tròn có đường kính là AB (h.á). Nếu điểm c thuộc đường tròn có đường kính AB (C khác A và B) thì tam giác ABC vuông tại c (h.b). a) Đúng. Giải Nếu AABC vuông tại c thì trung tuyến co = AR Nghĩa là CO = OB = OA = Do đó A, B, c thuộc đường tròn tâm 0. Vậy c thuộc đường tròn qua A, B có tâm là o trung điểm AB, nghĩa là c thuộc đường tròn đường kính AB. b) Đúng. Gọi o là tâm đường tròn đường kính AB => o là trung điểm AB Do c thuộc đường tròn đường kính AB nên : AR oc = OA = OB = 2 ACAB có CO là trung tuyến và co = . Vậy AACB vuông tại c. 63 Tìm X trên hình bên. Giải Kẻ BH 1 DC. Tứ giác ABHD là hình chữ nhật A 10 Nên BH = AD = X DH = AB = 10 Suy ra : HC = DC - DH = 15 - 10 = 5 DAB = ADH = BHD = 90° Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông BHC, ta có : BH2 + HC2 = BC2 =5- X2 + 52 = 132 => X2 = 132 - 52 = 144 => X = 12. 64 65 Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, c, D cắt nhau như trên hình bên. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật. Giải Ta có : BCD + ADC = 180° (góc trong cùng phía và AD // BC) ECD + EDC = 5^ + ^ = 1?51 = 9O" 2 2 2 Do đó : ADEC vuông tại E. Suy ra DEC = 90° Chứng minh tương tự : AGB = 90° , EHG = 90°. Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ? Giải Ta có : EF là đường trung bình của AABC nên : AC EF // AC và EF = 2 HG là đường trung bình của AADC nên : AC HG // AC và HG = — 2 Suy ra : EF // HG và EF = HG (1) (2) Do đó : tứ giác EFGH là hình bình hành Mặt khác : EH // BD (EH là đường trung bình của AABD) EF // AC - EH // BD => HE 1 EF hay HEF = 90° AC 1BD Từ (1) và (2), suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật. 66 Đố. Một đội công nhân đang Ạ trồng cây trên đoạn đường AB thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (hình trên). Đội đã CD dựng các điểm c, D, E như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn đường EF vuông góc yới DE. Vì sao AB và EF cùng nằm trên một đường thẳng ? Giải Tứ giác BCDE có : BC // DE (cùng vuông góc với CD) BC = ED (gt) BCD = 90°, do đó BCDE là hình chữ B F nên BCDE là hình bình hành và nhật BE 1 BC, BE 1 ED Mà : EF 1 ED (gt), AB 1 BC (gt) Suy ra : A, B, E, F thẳng hàng (tiên đề ơ-clit) Vậy AB và EF cùng nằm trên một đường thẳng.