Giải bài tập Toán 8 §11. Hình thoi

§11. HÌNH THOI
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Chứng minh rằng tứ giác ABCD trên hình bên cũng là một hình bình hành.
Hướng dẫn
Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đốì diện bằng nhau nên nó là hình bình hành.
a)
b)
?3
Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại o (hình sau).
Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất gì ?
Hãy phát hiện thêm các tính chất khác của hai đường chéo AC và BD.
Hướng dẫn
Hai đường chéo của hình thoi có tính chất là cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Phát hiện thêm một tính chất khác : "hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau".
Hay chứng minh dấu hiệu nhận biết 3.
Hướng dẫn
Gọi o là giao điểm của hình bình hành ABCD.
Ta có : OD = OB, AOB = AOD = 90° và, cạnh OA chung, suy ra hai tam giác vuông ABO và ADO bằng nhau (c-g-c) nên AB = AD.
Chứng minh tương tự, ta có BC = CD. Mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên AB = BC = CD = DA. Hay ABCD là hình thoi (đpcm).
GIẢI BÀI TẬP
Giải
Hỉnh	a : Tứ giác ABCD có AB = BC =	CD = AD nên là hình thoi.
®	Hình	b : Tứ giác EFGH có EF = HG,	EH = FG nên là hình bình	hành
và có	EG là phân giác của FEH . Vậy	EFGH là hình thoi.
Hỉnh	c : Tứ giác MNIK có hai đường	chéo cắt nhau tại trung điểm	mỗi
đường nên là hình bình hành và có hai đường chéo IM 1 KN. Vậy MNIK là hình thoi.
• Hĩnh d : Tứ giác PQRS không phải là hình thoi.
• Hình e : Tứ giác ACBD có AC = BC = BD = AD (bán kính các đường tròn bằng nhau) nên ACBD là hình thoi.
74 Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và lOcm. Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào trong các giá trị sau :
A. 6cm	B. Vĩĩcm c. -7164cm D. 9cm.
Giải
Tứ giác ABCD là hình thoi có AC = 8cm, BD = 10cm Jiên hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường.
AT _ AC 8 _ a™
2	2
2	2
Xét AAID vuông tại I, ta có : AD2 = AI2 + ID2
= 42 + 52 = 16 + 25 = 41 (định lí Py-ta-go)
Suy ra cạnh hình thoi là : AD = -7ĨĨ cm. Chọn B.
75
Chứng minh rằng các trung điểm của bôn cạnh của một hình chữ nhật
là các đỉnh của một hình thoi.
Giải
Gọi M, N, p, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.
Theo tính chất đường trung bình tam giác, ta có :
MN =	> pQ = 4F ’ MQ = GT ’ NP = VT
2	2	2	2
Mà AC = BD (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra : MN = PQ = MQ = NP
Vậy MNPQ là hình thoi.
76
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các
77
a)
b)
đỉnh của một hình chữ nhật.
Giải
Gọi M, N, p, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của hình thoi ABCD.
Ta có : <
AC MN // AC và MN =
2 (tính chất đường trung PQ // AC và PQ = — bình trons tam ểiác)
Suy ra : MN // PQ và MN = PQ
Do đó : tứ giác MNPQ là hình bình hành
(1)
Mặt khác : MQ // BD (MQ là đường trung bình của AABD)
'MQ // BD
Với MN//AC
AC 1 BD (tính chát đường chéo hình thoi)
Suy ra : MQ 1 MN hay QMN = 90°
(2)
Từ (1) và (2), suy ra MNPQ là hình chữ nhật.
Chứng minh rằng :
Giao điếm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.
Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đôi xứng của hình thoi.
Giải
Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đốì xứng. Hình thoi là một hình bình hành vậy giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đôi xứng của nó.	A
AC là trung trực của BD nên B và D đổì xứng nhau qua AC.
A, c cũng đôi xứng với chính nó qua AC.
Vậy AC là trục đối xứng của hình thoi.
Tương tự : BD là trục đôi xứng của hình thoi.
78 Đố. Hình bên biểu diễn một phần của cửa xếp, gồm những thanh kim loại dài bằng nhau và được liên kết với nhau bởi các chốt tại hai đầu và tại trung điểm. Vì sao tại mỗi vị trí của cửa xếp, các tứ giác trên hình vẽ đều là hình thoi, các điểm chốt I, K, M, N, o nằm trên một đường thẳng ?
B
A
B
Giải
• Các tứ giác IEKF, KGMH, ... là hình thoi (tứ giác có bôn cạnh bằng nhau)
Mặt khác KI là phân giác EKF, KM là phân giác GKH (tính chất
đường chéo hình thoi)
EKF = GKH (đối đỉnh)
Nên
K1 =Ê4
Do EKM + K4 = 180° (E, K, H thẳng hàng)
Suy ra : IKM = K1 + EKM = 180° Vậy I, K, M thẳng hàng.
Chứng minh tương tự : các điểm I, K, M, N, 0 cùng thuộc một đường thẳng.