Giải bài tập Toán 8 §9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

§9. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG CÁCH PHỐI HỘP nhiều phương pháp
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Phân tích đa thức 2x3y - 2xy3 - 4xy2 - 2xy thành nhân tử.
Hướng dẫn
Ta có : 2x3y - 2xy3 - 4xy2 - 2xy = 2x3y - 2xy(y2 + 2y + 1)
= 2xy[x2 - (y + l)2] = 2xy(x + y + l)(x - y - 1).
Tính nhanh giá trị của biểu thức X2 + 2x + 1 - y2 tại X = 94,5 và y = 4,5.
Khi phân tích đa thức X2 + 4x - 2xy - 4y + y2 thành nhân tử, bạn Việt làm như sau :
X2 + 4x - 2xy - 4y + y2 = (x2 - 2xy + y2) + (4x - 4y)
= (x - y)2 + 4(x - y) = (x - y)(x - y + 4).
Em hãy chỉ rõ trong cách làm trên, bạn Việt đã sử dụng những phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử.
Hướng dẫn
Ta có : X2 + 2x + 1 — y2 = (x + I)2 — y2 = (x + y + l)(x - y + 1)
Tại X = 94,5 và y = 4,5, thế vào ta được :
X2 + 2x + 1 - y2 = (x + l)2 - y2 = (x + y + l)(x - y + 1)
= (94,5 + 4,5 + 1X94,5 - 4,5 + 1)
= 100.91 = 9100.
Trong cách làm trên, bạn Việt đã sử dụng những phương pháp : nhóm các hạng tử, sử dụng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung.
GIẢI BÀI TẬP
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) X3 - 2x2 + x	b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
2xy - X2 - y2 + 16.
Giải
X3 - 2x2 + X = x(x2 - 2x + 1) = x(x - l)2
2x2 + 4x + 2 - 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 - y2) = 2[(x + l)2 - y2]
= 2(x + 1 + y)(x + 1 - y)
2xy - X2 - y2 + 16 = 16 - (x2 + y2 - 2xy) - 42 - (x - y)2
= (4 + X — y)(4 - X + y).
Chứng minh rằng (5n + 2)2 - 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Giải
(5n + 2)2 - 4 = (5n + 2)2 - 22 = (5n + 2 + 2)(5n + 2-2)
= (5n + 4).5n : 5 với mọi số nguyên n.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
X2 - 3x + 2 (Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử -3x = -x - 2x tlù ta có X2 - 3x + 2 = X2 - X - 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.
Cũng có thể tách 2 = -4 + 6, khi đó ta có X2 - 3x + 2 = x2 - 4 - 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp).
X2 + X - 6	c) X2 + 5x + 6.
Giải
X2 - 3x + 2 = X2 - X - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - l)(x - 2)
X2 + X - 6 = X2 - 2x + 3x - 6 = x(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 3)
X2 + 5x + 6 - X2 + 3x + 2x + 6 = x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x + 2).
54
a)
b)
c)
55
a)
b)
c)
56
LUYỆN TẬP
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
X3 + 2x2y + xy2 - 9x
X4 - 2x2.
a)
c)
b) 2x - 2y - X2 + 2xy - y2
Giải
+ 2x2y + xy2 - 9x = x(x2 + 2xy + y2 - 9) = x[(x + y)2 - 32]
= x(x + y + 3)(x + y - 3)
2x - 2y - X2 + 2xy - y2 = 2(x - y) - (x2 - 2xy + y2)
= 2(x - y) - (x - y)2 = (x - y)(2 - X + y) X4 - 2x2 = x2(x2 - 2) = x2|jc2 - (V2)2^ = x2(x + V2)(x - V2).
X3
Tìm X, biết :
a) X3 - -X = 0
4
c) x2(x - 3) + 12 - 4x = 0.
b) (2x - l)2 - (x + 3)2 = 0
Giải
X3 -Ậx = 0
4
x2-ị
4
X - 0 hay
X = 0 hay
(2x - l)2 - (x + 3)2 = 0
=>	(3x + 2)(x - 4) = 0
x2(x - 3) + 12 - 4x = 0 => => (x — 3)(x2 - 4) = 0 => => (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0
X + 4 = 0 hay X - 4 = 0
2	2
X = — hay X = —
2	2
(2x - 1 + X + 3)(2x - l- x-3) = 0
3x + 2 = 0 hay X - 4 = 0
X = - Ệ hay X = 4 3
x2(x - 3) - 4(x - 3) = 0
(x - 3)(x2 - 22) = 0
X - 3 = 0 hay X - 2 = 0 hay x + 2 = 0
X = 3 hay X = 2 hay X = —2.
Tính nhanh giá trị của đa thức :
9 1 1 .
a) x2+4x + -L tại X - 49,75
2	16
b) X2 - y2 - 2y - 1 tại X = 93; y = 6.
Giải
= (x + y + l)(x - y - 1)
= (93 + 6 + 1X93 - 6 - 1) (với X = 93; y = 6)
= 100.86 = 8600.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
X2 - 4x + 3 b) X2 + 5x + 4 c) X2 - X - 6 d) X4 + 4.
(Gợi ý câu d) : Thêin và bớt 4x2 vào đa thức đã cho).
Giải
X2 - 4x + 3 = X2 - 3x - X + 3 = x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(x - 1)
X2 + 5x + 4 = X2 + X + 4x + 4 = x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + l)(x + 4)
X2 - X - 6 = X2 - 3x + 2x - 6 = x(x - 3) + 2(x - 3) = (x - 3)(x + 2)
X4 + 4 = X4 + 4 + 4x2 - 4x2 = (x2 + 2)2 - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x).
Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Giải
Ta có : n3 - n = n(n2 - 1) = n(n - l)(n + 1)
é
n - 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, một sô' chia hết cho 2 nên tích của chúng chia hết cho 6.
Vậy : n(n - l)(n + 1) chia hết cho 6 với mọi sô' nguyên n.