Giải bài tập Toán 8 §7. Hình bình hành

?1
?2
§7. HÌNH BÌNH HÀNH
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Các cạnh đối của tứ giác ABCD trên hình bên có gì đặc biệt ?
Hướng dẫn
Trên hình bên, các cạnh đốì của tứ giác ABCD song song và bằng nhau.
Cho hình bình hành ABCD (hình bên). Hãy thử phát hiện các tính chất về cạnh, về góc, về đường chéo của hình bình hành đó.
Hướng dẫn
Tính chất về cạnh của hình bình hành ABCD là : "các cạnh đốì song song và bằng nhau".
Tính chất về góc là : "các góc đốì thì bằng nhau".
Tính chất về đường chéo là : "hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường".
?3
Trong các tứ giác ở hình sau, tứ giác nào là hình bình hành ? Vì sao ?
Hướng dẫn
Các tứ giác ABCD, EFGH, PQRS và XYUV là các hình bình hành.
GIẢI BÀI TẬP
Các tứ giác ABCD, EFGH, MNPQ trên giấy kẻ ô vuông ở hình bên có là hình bình hành hay không ?
Giải
Tứ giác ABCD có :
AB // CD và AB = CD (= 3 đvđd)
Vậy ABCD là hình bình hành (tứ giác có hai cạnh đốì song song và bằng nhau).
Tứ giác EFGH có :
EH // FG và EH = FG (= 3 đvđd)
Vậy EFGH là hình bình hành (tứ
giác có hai cạnh đôi song song và bằng nhau).
Gọi o là giao điểm hai đường chéo MP và NQ của tứ giác MNPQ, ta có :
OM = OP = a/12 + 32 = Vĩõ
ON = OQ = -Ự22 + 22 = 78
Vậy MNPQ là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). ,
Giải
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh rằng BE = DF.
AD _
Ta có : ■
ED = —— (E là trung điểm AD) 2
BF = (F là trung điểm BC)
2
Ta có :
BC // AD (tứ giác ABCD là hình bình hành)
BC = AD
Do BF // DE (BC // AD) và BF = ED (do BC = AD) nên tứ giác BFDE là hình bình hành.
Vậy : BE = DF.
Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.
Chứng minh rằng DE // BF.
Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?
Giải
~ ABC	 £	E E
Ta có : Bl = B2 = ■——— (BF là phân giác ABC) ///
Mà ABC = ADC (tứ giác ABCD là hình bình hành)
Suy ra : Ẽ2 = D1
Do AB // CD (tứ giác ABCD là hình bình hành) nên :
Ẽ2 = Fl (so le trong)
Do đó : D1 = F1 mà hai góc D1, F1 ở vị trí đồng vị.
Vậy : DE // BF.
Ta có :	//Tứ giác DEBF là hình bình hành.
IBE // DF (do AB // CD)
LUYỆN TẬP
Các câu sau đúng hay sai ?
Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
Tứ giác có hai cạnh đôi bằng nhau là hình bình hành.
Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
Giải
Đúng.
Đúng.
Sai. (Ví dụ hình thang cân có hai cạnh đối (cạnh bên) bằng nhau nhưng không là hình bình hành).
Sai. (Ví dụ hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không phải là hình bình hành).
Cho hình bên, trong đó ABCD là hình bình hành. Ạ	B
Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành. /
Gọi o là trung điểm của HK. Chứng minh /	/
răng ba điểm A, o, c thẳng hàng.	/	\ /
Giải	D	c
Xét hai tam giác vuông AHD và CKB, ta có :
AD = BC (tứ giác ABCD là hình bình hành)
ADH = CBK (so le trong và AD // BC) nên AAHD = ACKB (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra : AH = CK Mặt khác : AH // CK (cùng vuông góc với BD)
Vậỳ tứ giác AHCK là hình bình hành. D	c
Tứ giác ABCD là hình bình hành có o là trung điểm của đường chéo BD, nên cũng là trung điểm của đường chéo AC. Vậy A, o, c thẳng hàng.
Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
Giải
Ta có : EF là đường trung bình của AABC nên :
EF // AC và EF = 2
HG là đường trung bình của AADC nên :
AC
HG // AC và HG = —
2
Suy ra : EF // HG và EF.= HG.
49
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng :
AI // CK	b) DM = MN = NB.
Giải
(K là trung điểm AB)
AR
Ta có : AK =
(I là trung điểm CD)
2
2
(tứ giác ABCD là hình bình hành)
Mà : AB = CD
Suy ra : AK = CI
AK // CI (do AB // CD)
Nên tứ giác AKCI là hình bình hành.
Vậy : AI // CK.
• ADCN có IM // CN và ID = IC nên DM = MN
• ABAM có KN // AM và KA = KB nên MN = NB Vậy : DM = MN = NB.