Giải bài tập Toán 8 §5. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

§5. NHỮNG HẰNG ĐANG thức đáng nhô (tiếp)
BÀĨ TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?11 Tính (a + b)(a2 - ab + b2) (với a, b là các sô' tùy ý).
Hướng dẫn
Ta có : (a + b)(á2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3
Vậy : (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 (6).
?2 Phát biểu hằng đẳng thức (6) bằng lời.
Áp dụng : a) Viết X3 + 8 dưới dạng tích.
Viết (x + l)(x2 - X + 1) dưới dạng tổng.
Hướng dẫn
Phát biểu hằng đẳng thức (6) : Tổng của hai lập phương bằng tích của tổng hai sô' đó với bình phương số thứ nhất trừ số thứ nhất nhân sô' thứ hai cộng sô' thứ hai bình phương.
Áp dụng :
X3 + 8 = X3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 22)
(x + l)(x2 - x + 1) = X3 - X2 + X + X2 - X + 1 = X3 + 1.
?3 Tính (a - b)(a2 + ab + b2) (với a, b là các sô' tùy ý).
Hướng dẫn
Ta có : (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3
Vậy (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 (7).
?4 Phát biểu hằng đẳng thức (7) bằng lời.
Áp dụng :
Tính (x - l)(x2 + X + 1).
Viết 8x3 - y3 dưới dạng tích.
Hãy đánh dấu X vào ô có đáp số đúng của tích : (x + 2)(x2 - 2x + 4).
X3 + 8
X3 - 8
(x + 2)3
(X - 2)3
Hướng dẫn
Phát biểu hằng đẳng thức (7) : Hiệu của hai lập phương bằng tích của hiệu hai sô' đó với bình phương sô' thứ nhất cộng sô' thứ nhất nhân sô' thứ hai cộng sô' thứ hai bình phương.
Áp dụng :
(x - l)(x2 + X + 1) = X3 + X2 + X - X2 - X - 1 = X3 - 1
8x3 - y3 = (2x)3 - y3 = (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)
Đánh dấu X vào ô có đáp số đúng :
X3 + 8
X
X3 - 8
(X + 2)3
X
(x - 2)3
GIAI BAI TẠP
Rút gọn các biểu thức sau :
(x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 + X3)
(2x + y)(4x2 - 2xy + y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2).
Giải
(x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 + X3) = X3 + 33 - 54 - X3
= X3 + 27 - 54 - X3 = -27
(2x + y)(4x2 - 2xy + y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)
= (2x + y)[(2x)2 - (2x).y + y2] - (2x - y)[(2x)2 + (2x).y + y2] = (2x)3 + y3 - [(2x)3 - y3] = 8x3 + y3 - 8x3 + y3 = 2y3.
Chứng minh rằng :
a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
b) a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b).
Áp dụng : Tính a3 + b3, biết a.b = 6 và a + b = -5.
Giải
a) Vế phải = (a + b)3 - 3ab(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - 3a2b - 3ab2
= a3 + b3 = vế trái
Vậy : a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b).
b) Vế phải = (a - b)3 + 3ab(a - b) = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2
= a3 - b3 = vế trái
Vậy : a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b).
Áp dụng : a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) = (~5)3 - 3(6).(-5)
= -125 + 90 = -35.
Điền các đơn thức thích hợp vào ô trông :
a) (3x + y)(
+ [_]) = 27x3 + y3
b) (2x — I |)(| I + lOx + I |) = 8x3 — 125.
Giải
a) (3x + y)(| 9x2
3x.y + y2
) = 27x3
+ y3
b)
(2x - 5 )( 4x2 + ỊQx + 25) = 8x3 - 125.
LUYỆN TẬP
Tính :
a) (2 + xy)2	b) (5 - 3x)2
(5 - x2)(5 + X2)	d) (5x - l)3
e) (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)	f) (x + 3)(x2 - 3x + 9).
Giải
(2 + xy)2 = 22 + 2.2.xy + (xy)2 = 4 + 4xy + x2y2
(5 - 3x)2 = 52 - 2.5.3X + (3x)2 = 25 - 30x + 9x2
(5 - x2)(5 + X2) = 52 - (X2)2 = 25 - X4
ả)
e)
ĩ)
34
(5x - l)3 = (5x)3 - 3.(5x)2.1 + 3.5X.12 - l3 = 125x3 - 75x2 + 15x - 1 (2x - y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 - y3 = 8x3 - y3
(x + 3)(x2 - 3x + 9) = X3 + 33 = X3 + 27.
Rút gọn các biểu thức sau :
a) (a + b)2 - (a - b)2	b) (a + b)3 - (a - b)3 - 2b3
(x + y + z)2 - 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2.
Giải
(a + b)2 - (a - b)2 = a2 + 2ab + b2 - (a2 - 2ab + b2)
= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2 = 4ab
Cách khác : (a + b)2 - (a - b)2 = (a + b + a - b)[a + b - (a - b)]
= 2a(a + b - a + b) = 2a.2b = 4ab.
(a + b)3 - (a - b)3 - 2b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) - 2b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 + 3a2b - 3ab2 + b3 - 2b3 = 6a2b
Cách khác : (a + b)3 - (a - b)3 - 2b3
= [(a + b) - (a - b)][(a + b)2 + (a + b)(a - b) + (a - b)2] - 2b3
= 2b.(a2 + 2ab + b2 +	a2 - b2 + a2 - 2ab +	b2) - 2b3
= 2b.(3a2 + b2) - 2b3	= 6a2b + 2b3 - 2b3 =	6a2b.
(x + y	+	z)2 - 2(x + y + z)(x + y)	+ (x + y)2
= X2 +	y2	+ z2 + 2xy + 2yz + 2zx	- 2x2 - 2xy - 2yx -	2y2 - 2xz	- 2yz	+
+ X2	+ y2	+	2xy
= z2.
Cách khác : (x + y + z)2 - 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = [x + y + z - (x + y)]2 = (x + y + z - X - y)2 = z2. [35"] Tính nhanh :
342 + 662 + 68.66	b) 742 + 242 - 48.74.
Giải
342 + 662 + 68.66 = 342 + 662 + 2.34.66 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000
742 + 242 - 48.74 = 742 + 242 - 2.24.74 = (74 - 24)2 = ÕO2 = 2500.
36 Tính giá trị của biểu thức :
X2 + 4x + 4 tại X = 98	b) X3 + 3x2 + 3x + 1 tại X = 99.
Giải
X2 + 4x + 4 = (x + 2)2 = (98 + 2)2 (với X = 98)
= 1002 = 10000
X3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + l)3 = (99 + l)3 (với X = 99)
= 1003 = 1000000.
38 Chứng minh các đẳng thức sau :
a) (a - b)3 = -(b - a)3	b) (-a - b)2 = (a + b)2.
Giải
(a - b)3 = [-(b - a)]3 = -(b - a)3
(-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2
Chú ý : Có thể sử dụng các hằng đẳng thức để khai triển hai vế, đưa về cùng một kết quả, chẳng hạn :
(_a - b)2 = [(-a) + (-b)]2 = (-a)2 + 2(-a)(-b) + (-b)2
= a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.