Giải bài tập Toán 8 §4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang

§4. DƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CÙA HÌNH THANG
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Vẽ tam giác ABC bất kì rồi lấy trung điểm D của AB. Qua D vẽ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt cạnh AC ở E. Bằng quan sát, hãy nêu dự đoán về vị trí của điểm E trên cạnh AC.
Hướng dẫn
Hình bên :
Từ hình bên, ta dự đoán : E cũng là trung điểm của AC.
?2
Vẽ tam giác ABC bất kì rồi lấy trung điểm D của AB, trung điểm E của AC. Dùng thước đo góc và thước ADE = B và DE = ỈBC.
2
Hướng dẫn
Hình bên :
- Từ hình bên, ta có : ADE = B và DE =
ỈBC- D
2 B
chia khoảng để kiểm tra rằng
c
?3
Tính độ dài đoạn BC trên hình bên. Biết DE = 50m. Hướng dẫn	B
Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó : BC = 2DE
.--zC
Mà DE = 50m nên BC = 2.50 = 100m.
j?41 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Qua trung điểm E của AD kẻ đường thẳng song song với hai đáy, đường thẳng này cắt AC ở I, cắt BC ở F (hình bên). Có nhận xét gì về vị trí của điểm I trên AC, điểm F trên BC ?
Hướng dẫn
Nhận xét : I là trung điểm của AC, F là trung điểm của BC.
?5
Tính X trên hình bên.
Hướng dẫn
Ta có EB là đường trung bình của hình thang ACHD.
_ ..	_ AD + CH
Do đó : EB = ----- '
2
Suy ra : CH = 2EB - AD = 2.32 - 24 = 40m
Vậy : X = 40m.
GIẢI BÀI TẬP
Đường trung bình của tam giác
20
Tính X trên hình bên.
8cm
10cm
B
K
50^ c
8cm
21
3cm
A ? B
Giải
Ta có : K là trung điểm AC (KA = KC = 8cm) và IK // BC (do ÃKI = ACB = 50° và AKI, ACB là hai góc đồng vị)
Suy ra : I là trung điểm của AB.
Vậy : X = IA = IB = 10cm.
Tính khoảng cách AB giữa hai mũi của compa trên hình bên, biết rằng c là trung điểm của OA, D là trung điểm của OB và GD = 3cm.
Giải
Ta có CĐ là đường trung bình của AOAB nên CD =
2
Suy ra : AB = 2.CD = 2.3 = 6cm.
22 Cho hình bên. Chứng minh rằng AI = IM.
Giăi
m , ÍM là trung điểm BC
Ta có : C	7
[E là trung điểm BD
nên ME là đường trung bình của ABCD
Do đó : ME // CD hay DI // EM
Mặt khác D là trung điểm của AE (gt). Suy ra DI qua trung điểm I của AM.
Vậy AI = IM.
Đường trung bình của hình thang
Tính X trên hình bên.
Giải
Tacó: {Zts <et) = MP//NQ
Tứ giác MNQP là hình thang vuông
Mặt khác : IK 1 PQ
Do đó : IK // MP // NQ, mà I là trung điểm MN (gt)
Vậy K là trung điểm PQ, do đó : X = KQ = PK = 5dm.
Hai điểm A và B thuộc cùng một nửa mặt phảng có bờ là đường thẳng xy. Khoảng cách từ điểm A đến xy bằng 12cm, khoảng cách từ điểm B đến xy bằng 20cm. Tính khoảng cách từ trung điểm c của AB đến xy.
Giải
Gọi AH, BK, CM lần lượt là khoảng cách từ A, B, c đến xy, ta có :
AH 1 xy, BK 1 xy và CM 1 xy
Do đó : AH // BK // CM
Tứ giác ABKH là hình thang vuông (AH // BK và AHK = 90°)
Do CM // AH // BK và c là trung điểm của AB nên M là trung điểm của HK. Do đó CM là đường trung bình của hình thang ABKH.
Tns_. AH + BK 12 + 20
Vậy : CM = 	= ——— = 16cm.
J	2	2
25; Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm
của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.
Giải
26
27
b)
Giải
32 = 12 + y
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
Tương tự, KF là đường trung bình của AABC nên
Tứ giác ABCD là hình thang có đáy AB, CD nên :
AB // CD
Ta có EK là đường trung bình của \DAB nên :
EK//AB	(1)
EF là đường trung bình của hình thang ABCD nên :
EF // AB // CD (2)
Từ (1) và (2), suy ra E, K, F thẳng hàng (Tiên đề ơ-clit).
LUYỆN TẬP
Tính X, y trên hình bén, trong dó AB // CD // EF // GH.
Tứ giác ABFE là hình thang (AB // EF) có CD là đường trung bình nên :
__n_AB + EF 8 + 16 _
X = CD = ———	= ——— = 12cm.
2	2
Tứ giác CDIIG là hình thang (CD // GH) có EF là đường trung bình nên : EF = CD + GH 16 = 12 + y
2	2
y = 32 - 12 = 20cm.
KF=
2
Ta có : EF < EK + KF (bất đẳng thức tam giác) o	 T3„ _ CD AB AB + CD
Suy ra : EF < — + —— =
2	2
28 Cho hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.
Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID.
Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài El, KF, IK.
Giải
a)
b)
29
EF là đường trung bình của hình thang ABCD nên :
EF // AB // CD
AADC có EK // DC và EA = ED nên :
KA = KC
ADBC có IF // CD và FB = FC nên :
IB = ID.
EI là đường trung bình của AADB nên :
EI =
KF là đường trung bình của AABC nên :
„„_ AB _ 6 _ _
KF = -7- = — = 3cm
2	2
EF là đường trung bình của hình thang ABCD nên :
„„ AB + CD 6 + 10 16 o__
EF = 	= ——— = -— = 8cm
2	2	2
Từ đó : IK = EF - (EI + KF) = 8 - (3 + 3) = 2cm.